2つの母平均の差の検定（対応あり）に関する問題です。
1. 仮説の設定
この問題では、新薬の投与前後の血圧の差を分析し、投与後の平均血圧が投与前より低いかどうかを検定します。
帰無仮説 $H_0$ と対立仮説 $H_1$ は以下のように設定されます：
\begin{align}
H_0: \mu_d &\geq 0 \\
H_1: \mu_d &< 0
\end{align}
ここで、$\mu_d$ は血圧の差（後 - 前）の母平均です。帰無仮説は「投与後の平均血圧は投与前以上である」、対立仮説は「投与後の平均血圧は投与前より低い」ことを表しています。
これは左片側検定です。
2. 検定統計量の選択
対応のあるデータの場合、差の値に対して1標本のt検定を行います。
検定統計量 $t$ は以下のように計算されます：
$t = \frac{\bar{d} - \mu_0}{S_d / \sqrt{n}}$
ここで、$\bar{d}$ は差の標本平均、$\mu_0$ は帰無仮説で仮定される差の母平均（この場合は0）、$S_d$ は差の不偏分散の平方根、$n$ は標本サイズです。
3. 検定統計量の計算
与えられた情報を代入して、検定統計量を計算します：
\begin{align}
t &= \frac{\bar{d} - \mu_0}{S_d / \sqrt{n}} \\
&= \frac{-8 - 0}{12 / \sqrt{15}} \\
&= \frac{-8}{12 / 3.87} \\
&= \frac{-8}{3.1} \\
&= -2.58
\end{align}
4. 臨界値の決定
有意水準 $\alpha = 0.05$ の左片側検定では、自由度 $n - 1 = 14$ のt分布の下側 $\alpha = 0.05$ 点が臨界値となります。
t分布表または計算ツールを用いて、$t_{14, 0.05} = -1.761$ を得ます。
したがって、棄却域は $t < -1.761$ です。
5. 判定
計算された検定統計量 $t = -2.58$ は、臨界値 $t_{14, 0.05} = -1.761$ よりも小さいため、棄却域に入ります。
したがって、有意水準5%で帰無仮説 $H_0: \mu_d \geq 0$ を棄却します。
6. 結論
有意水準5%で、投与後の平均血圧が投与前より有意に低いと結論づけられます。ただし、対照群のない前後比較だけから、新薬による因果効果まで断定することはできません。
具体的には、投与前後の血圧の差の平均が-8mmHgであり、これは統計的に有意に0よりも小さいと判断されました。
対応のある検定と対応のない検定の違い：
- 対応のある検定は、同じ被験者または対象の前後の測定値など、自然なペアが存在するデータに適用されます。
- 対応のない検定は、異なる被験者または対象のグループ間の比較に適用されます。
- 対応のある検定は、個体間の変動を除去することで、より検出力の高い検定を可能にします。
- 対応のあるデータを対応のない検定で分析すると、検出力が低下し、第2種の誤りの確率が増加する可能性があります。
- 対応のある検定では、差の値の正規性が重要な仮定となります。
この問題では、15人の患者の新薬投与前後の血圧の差を分析しました。計算の結果、検定統計量 $t = -2.58$ となり、有意水準5%で帰無仮説を棄却することになります。
したがって、検定統計量の値は-2.58であり、結論は「帰無仮説を棄却する」です。