母平均の増加を検証するための片側t検定の問題です。
帰無仮説 \( H_0: \mu = \mu_0 \) に対し、対立仮説 \( H_1: \mu > \mu_0 \) (または \( \mu < \mu_0 \)) を設定し、t検定統計量を計算して棄却域と比較します。
1. 仮説の設定
- 帰無仮説 \( H_0: \mu = 500 \) (新製法でも平均重量は変わらない)
- 対立仮説 \( H_1: \mu > 500 \) (新製法で平均重量は増加した)
これは右側片側検定です。
2. 検定統計量の計算
標本サイズ n = 16, 標本平均 \( \bar{x} = 505 \)g, 不偏分散 \( u^2 = 64 \)g², 母平均 \( \mu_0 = 500 \)g。
検定統計量tは次のように計算されます。
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sqrt{u^2/n}} = \frac{505 - 500}{\sqrt{64/16}} = \frac{5}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \]
3. 棄却域の設定
有意水準 \( \alpha = 0.05 \)。自由度は \( df = n - 1 = 16 - 1 = 15 \)。
右側片側検定なので、棄却域は \( t > t_{0.05}(15) \) です。
問題文より、\( t_{0.05}(15) = 1.753 \)。
よって、棄却域は \( t > 1.753 \) となります。
4. 判定と結論
計算された検定統計量 \( t = 2.5 \) は、棄却域 \( t > 1.753 \) に含まれます (\( 2.5 > 1.753 \))。
したがって、帰無仮説 \( H_0 \) は棄却されます。
結論：有意水準5%で、新製法によって製品の平均重量が増加したと言えます。