ガンマ-ポアソン共役モデルによる事後推論
ガンマ-ポアソン共役モデルは、カウントデータの解析で最も重要なベイズモデルの一つです。ポアソン分布の率パラメータλにガンマ事前分布を設定することで、解析的に事後分布を求めることができます。
ガンマ-ポアソン共役性の利点
ポアソン分布のパラメータλに対してガンマ分布を事前分布とすると、事後分布も同じくガンマ分布になる共役性があります：
- 事前分布：$\\lambda \\sim \\text{Gamma}(\\alpha, \\beta)$
- 尤度：$X \\sim \\text{Poisson}(\\lambda)$
- 事後分布：$\\lambda|x \\sim \\text{Gamma}(\\alpha + \\sum x_i, \\beta + n)$
Step 1: 問題設定の整理
- 観測データ：1時間で電話5件（x = 5）
- 観測回数：n = 1（1時間のデータ）
- 尤度：$X \\sim \\text{Poisson}(\\lambda)$
- 事前分布：$\\lambda \\sim \\text{Gamma}(\\alpha = 3, \\beta = 2)$
Step 2: ガンマ分布のパラメータ化の確認
ガンマ分布には複数のパラメータ化があります。ここでは形状・率パラメータ化を使用：
$$\\text{Gamma}(\\alpha, \\beta): f(\\lambda) = \\frac{\\beta^\\alpha}{\\Gamma(\\alpha)} \\lambda^{\\alpha-1} e^{-\\beta\\lambda}$$
このパラメータ化での平均と分散：
- 平均：$E[\\lambda] = \\frac{\\alpha}{\\beta}$
- 分散：$\\text{Var}[\\lambda] = \\frac{\\alpha}{\\beta^2}$
Step 3: 事前分布の特性
事前分布 $\\text{Gamma}(3, 2)$ の特徴：
$$E[\\lambda] = \\frac{3}{2} = 1.5$$
$$\\text{Var}[\\lambda] = \\frac{3}{2^2} = \\frac{3}{4} = 0.75$$
$$\\text{SD}[\\lambda] = \\sqrt{0.75} ≈ 0.866$$
Step 4: 共役性による事後分布
ガンマ-ポアソン共役性により、事後分布は：
$$\\lambda|x \\sim \\text{Gamma}(\\alpha + \\sum x_i, \\beta + n)$$
観測データを代入：
- $\\sum x_i = 5$（観測された電話件数）
- $n = 1$（観測期間数）
$$\\lambda|x \\sim \\text{Gamma}(3 + 5, 2 + 1) = \\text{Gamma}(8, 3)$$
Step 5: 事後平均の計算
$$E[\\lambda|x] = \\frac{\\alpha_{\\text{posterior}}}{\\beta_{\\text{posterior}}} = \\frac{8}{3} = 2.666...$$
小数第3位まで：2.667
Step 6: 推定値の比較と解釈
| 推定手法 | 推定値 | 解釈 |
|---|
| 事前平均 | 1.500 | 事前知識のみ |
| 最尤推定 | 5.000 | 観測データのみ（x/n = 5/1） |
| 事後平均 | 2.667 | 事前知識とデータの統合 |
結果の妥当性チェック
事後平均は事前平均と最尤推定値の間に位置し、これは合理的な結果です：
- 事前の影響：過去の経験（λ ≈ 1.5）
- データの影響：今日の観測（λ = 5）
- 統合結果：バランスの取れた推定（λ ≈ 2.67）
Step 7: 重み付き平均としての解釈
事後平均は、事前平均と観測平均の重み付き平均として表現できます：
$$E[\\lambda|x] = \\frac{\\alpha + \\sum x_i}{\\beta + n} = \\frac{\\alpha}{\\beta + n} + \\frac{\\sum x_i}{\\beta + n}$$
$$= \\frac{\\beta}{\\beta + n} \\cdot \\frac{\\alpha}{\\beta} + \\frac{n}{\\beta + n} \\cdot \\frac{\\sum x_i}{n}$$
重みの計算：
- 事前の重み：$w_0 = \\frac{\\beta}{\\beta + n} = \\frac{2}{2 + 1} = \\frac{2}{3}$
- データの重み：$w_1 = \\frac{n}{\\beta + n} = \\frac{1}{2 + 1} = \\frac{1}{3}$
$$E[\\lambda|x] = \\frac{2}{3} \\times 1.5 + \\frac{1}{3} \\times 5 = 1.0 + 1.667 = 2.667$$
Step 8: 事後分散と信頼性
事後分散：
$$\\text{Var}[\\lambda|x] = \\frac{\\alpha_{\\text{posterior}}}{\\beta_{\\text{posterior}}^2} = \\frac{8}{3^2} = \\frac{8}{9} ≈ 0.889$$
事後標準偏差：
$$\\text{SD}[\\lambda|x] = \\sqrt{\\frac{8}{9}} ≈ 0.943$$
Step 9: 信頼区間の構築
ガンマ分布の分位点を使用して95%信頼区間を構築：
$$P(q_{0.025} < \\lambda < q_{0.975}|x) = 0.95$$
Gamma(8, 3)の分位点（近似値）：
- $q_{0.025} ≈ 1.33$
- $q_{0.975} ≈ 4.68$
95%信頼区間：[1.33, 4.68]
解釈
- 点推定：1時間あたり約2.67件の電話を予想
- 不確実性：95%の確率で1.33〜4.68件の範囲
- 意思決定：スタッフ配置やシステム容量の計画に活用
Step 10: 予測分布（事後予測分布）
翌日の1時間あたりの電話件数Yの予測分布は負の二項分布になります：
$$Y|x \\sim \\text{NegBin}(r = 8, p = \\frac{3}{3+1} = 0.75)$$
予測平均：
$$E[Y|x] = \\frac{r(1-p)}{p} = \\frac{8 \\times 0.25}{0.75} = \\frac{2}{0.75} = 2.667$$
これは事後平均と一致します。
Step 11: モデルの妥当性と仮定
ポアソン分布の仮定
- 独立性：各電話は他の電話と独立
- 定常性：時間内で率λが一定
- 稀現象：短時間での重複が無視できる
ガンマ事前分布の選択理由
- 正の値：率パラメータλ > 0の制約を自然に満たす
- 柔軟性：形状パラメータで様々な形状を表現
- 解釈性：αは「仮想的な観測件数」、βは「仮想的な観測期間」
Step 12: 逐次更新（追加データがある場合）
2時間目に追加で3件の電話があった場合：
$$\\lambda|x_1, x_2 \\sim \\text{Gamma}(8 + 3, 3 + 1) = \\text{Gamma}(11, 4)$$
$$E[\\lambda|x_1, x_2] = \\frac{11}{4} = 2.75$$
このように、ベイズ推定では新しいデータで容易に更新できます。