ベイズの定理、事前分布、事後分布、MCMC法、階層ベイズモデルなど統計検定準1級レベルのベイズ統計理論を学習します。
医療診断のベイズネットワークを考える。疾病D（あり/なし）、症状S₁（発熱：あり/なし）、症状S₂（咳：あり/なし）がある。事前確率P(D=あり)=0.1、P(S₁=あり|D=あり)=0.8、P(S₁=あり|D=なし)=0.2、P(S₂=あり|D=あり)=0.7、P(S₂=あり|D=なし)=0.3。患者が発熱と咳の両方を呈している場合、疾病がある確率はいくらか。小数第3位まで求めよ。
ベイズネットワークは、確率的依存関係をグラフ構造で表現し、不確実性下での推論を効率的に行う強力な手法です。医療診断分野では特に重要な応用があります。
この問題のネットワーク構造：
疾病 D\n ↙ ↘\n 症状S₁ 症状S₂\n（発熱） （咳）仮定：疾病Dが与えられたとき、症状S₁とS₂は条件付き独立
Step 1: 与えられた情報の整理
| 確率 | 値 | 意味 |
|---|---|---|
| $P(D=\\text{あり})$ | 0.1 | 疾病の事前確率 |
| $P(D=\\text{なし})$ | 0.9 | 健康の事前確率 |
| $P(S_1=\\text{あり}|D=\\text{あり})$ | 0.8 | 疾病時の発熱確率 |
| $P(S_1=\\text{あり}|D=\\text{なし})$ | 0.2 | 健康時の発熱確率 |
| $P(S_2=\\text{あり}|D=\\text{あり})$ | 0.7 | 疾病時の咳確率 |
| $P(S_2=\\text{あり}|D=\\text{なし})$ | 0.3 | 健康時の咳確率 |
Step 2: 求める値の定式化
求める値：$P(D=\\text{あり}|S_1=\\text{あり}, S_2=\\text{あり})$
ベイズの定理を適用：
Step 3: 条件付き独立性の活用
疾病が与えられたとき、症状は条件付き独立：
同様に：
Step 4: 全確率の法則による分母計算
Step 5: 事後確率の計算
小数第3位まで：0.509
別の方法で確認してみましょう：
尤度比アプローチ：
事前オッズ：$\\frac{P(D=\\text{あり})}{P(D=\\text{なし})} = \\frac{0.1}{0.9} = \\frac{1}{9}$
事後オッズ：$\\frac{1}{9} \\times \\frac{28}{3} = \\frac{28}{27}$
事後確率：$\\frac{28/27}{1 + 28/27} = \\frac{28}{27 + 28} = \\frac{28}{55} = 0.509$
Step 6: 結果の解釈
| 推定手法 | 確率 | 解釈 |
|---|---|---|
| 事前確率 | 0.100 | 症状を知る前の疾病確率 |
| 事後確率 | 0.509 | 発熱と咳の両方がある場合 |
| 確率向上 | 約5倍 | 症状観測による診断価値 |
Step 7: ベイズネットワークの推論手法
Step 8: 医療診断での実用性
Step 9: ネットワーク拡張の可能性
より複雑な医療診断ネットワークでは：
年齢 性別\n ↓ ↓\n 遺伝要因 → 疾病 ← 環境要因\n ↓ ↙ ↘ ↓\n 検査結果 症状1 症状2 検査値このような階層的構造で、より精密な診断が可能になります。
ベイズネットワークの効率性は条件付き独立性仮定に依存します：