モーメント法による分散推定
モーメント法は、標本モーメントと母集団モーメントを等置することでパラメータを推定する手法です。
モーメント法の理論的基礎
Step 1: 母集団モーメントの設定
正規分布$N(\\mu, \\sigma^2)$の理論的モーメント：
$E[X] = \\mu$
$E[X^2] = \\text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \\sigma^2 + \\mu^2$
Step 2: 標本モーメントの計算
観測値：$X_1 = 1, X_2 = 3, X_3 = 5, X_4 = 7$
第1標本モーメント（標本平均）：
$M_1 = \\bar{X} = \\frac{1}{4}(1 + 3 + 5 + 7) = \\frac{16}{4} = 4$
第2標本モーメント：
$M_2 = \\frac{1}{4}\\sum_{i=1}^4 X_i^2 = \\frac{1}{4}(1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2)$
$= \\frac{1}{4}(1 + 9 + 25 + 49) = \\frac{84}{4} = 21$
モーメント法推定量の導出
Step 3: モーメント方程式の設定
理論的モーメントと標本モーメントを等置：
$\\begin{cases}E[X] = M_1 \\Rightarrow \\mu = 4 \\\\E[X^2] = M_2 \\Rightarrow \\sigma^2 + \\mu^2 = 21\\end{cases}$
Step 4: 分散の推定
第2式から$\\sigma^2$を求める：
$\\sigma^2 = M_2 - \\mu^2 = 21 - 4^2 = 21 - 16 = 5$
しかし、より正確な計算では：
$\\sigma^2 = M_2 - (M_1)^2 = 21 - 16 = 5$
標本分散による検証
Step 5: 標本分散の計算
標本分散（$n-1$で割る）：
$s^2 = \\frac{1}{n-1}\\sum_{i=1}^n (X_i - \\bar{X})^2$
$= \\frac{1}{3}[(1-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (7-4)^2]$
$= \\frac{1}{3}[9 + 1 + 1 + 9] = \\frac{20}{3} = 6.67$
母集団分散（$n$で割る）：
$\\hat{\\sigma}^2 = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (X_i - \\bar{X})^2 = \\frac{1}{4} \\times 20 = 5.00$
モーメント法の実際の計算
Step 6: 修正計算
より正確な第2標本モーメント計算：
$M_2 = \\frac{1}{n}\\sum X_i^2 = \\frac{1}{4}(1 + 9 + 25 + 49) = \\frac{84}{4} = 21$
分散の推定：