モーメント法による分散推定
モーメント法は、標本モーメントと母集団モーメントを等置することでパラメータを推定する手法です。
モーメント法の理論的基礎
Step 1: 母集団モーメントの設定
正規分布$N(\mu, \sigma^2)$の理論的モーメント：
$E[X] = \mu$
$E[X^2] = \text{Var}(X) + [E(X)]^2 = \sigma^2 + \mu^2$
Step 2: 標本モーメントの計算
観測値：$X_1 = 1, X_2 = 3, X_3 = 5, X_4 = 7$
第1標本モーメント（標本平均）：
$M_1 = \bar{X} = \frac{1}{4}(1 + 3 + 5 + 7) = \frac{16}{4} = 4$
第2標本モーメント：
$M_2 = \frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 X_i^2 = \frac{1}{4}(1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2)$
$= \frac{1}{4}(1 + 9 + 25 + 49) = \frac{84}{4} = 21$
モーメント法推定量の導出
Step 3: モーメント方程式の設定
理論的モーメントと標本モーメントを等置：
$\begin{cases}E[X] = M_1 \Rightarrow \mu = 4 \\E[X^2] = M_2 \Rightarrow \sigma^2 + \mu^2 = 21\end{cases}$
Step 4: 分散の推定
第2式から$\sigma^2$を求める：
$\sigma^2 = M_2 - \mu^2 = 21 - 4^2 = 21 - 16 = 5$
標本分散による検証
Step 5: 標本分散の計算
標本分散（$n-1$で割る）：
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$
$= \frac{1}{3}[(1-4)^2 + (3-4)^2 + (5-4)^2 + (7-4)^2]$
$= \frac{1}{3}[9 + 1 + 1 + 9] = \frac{20}{3} = 6.67$
母集団分散（$n$で割る）：
$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{4} \times 20 = 5.00$