一様分布におけるモーメント法
モーメント法を一様分布に適用し、最大値パラメータを推定する問題です。
一様分布の理論的性質
Step 1: 一様分布の確率密度関数
一様分布$\text{Uniform}(0, \theta)$の確率密度関数：
$f(x; \theta) = \begin{cases}\frac{1}{\theta} & \text{if } 0 \leq x \leq \theta \\0 & \text{otherwise}\end{cases}$
Step 2: 理論的モーメントの計算
第1次モーメント（期待値）：
$E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_0^\theta x dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta}{2}$
第2次モーメント：
$E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_0^\theta x^2 dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{\theta^2}{3}$
分散：
$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{4\theta^2 - 3\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{12}$
標本モーメントの計算
Step 3: 観測データの整理
標本：$X_1 = 2, X_2 = 4, X_3 = 6$
標本サイズ：$n = 3$
第1標本モーメント（標本平均）：
$M_1 = \bar{X} = \frac{1}{3}(2 + 4 + 6) = \frac{12}{3} = 4$
第2標本モーメント：
$M_2 = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 X_i^2 = \frac{1}{3}(2^2 + 4^2 + 6^2) = \frac{1}{3}(4 + 16 + 36) = \frac{56}{3} = 18.67$
モーメント法推定量の導出
Step 4: モーメント方程式の設定
理論的第1モーメントと標本第1モーメントを等置：
$E[X] = M_1 \Rightarrow \frac{\theta}{2} = 4$
これを$\theta$について解く：
$\theta = 2 \times 4 = 8$
モーメント法 vs 最尤法の比較
Step 6: 最尤推定量との比較
一様分布$\text{Uniform}(0, \theta)$の最尤推定量：
$\hat{\theta}_{\text{ML}} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} = \max\{2, 4, 6\} = 6$
比較：
| 推定法 | 推定値 | 性質 |
|---|
| モーメント法 | $\hat{\theta} = 8.00$ | 不偏、大きめの値 |
| 最尤法 | $\hat{\theta} = 6.00$ | 偏りあり、過小推定 |
理論的性質と実用性
一様分布での推定法の特徴
モーメント法の特徴：
- 不偏性：$E[\hat{\theta}] = E[2\bar{X}] = 2 \cdot \frac{\theta}{2} = \theta$
- 一致性：$\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta$
- 計算簡便性：標本平均の2倍という単純な形
最尤法の特徴：
- 偏り：$E[\hat{\theta}_{\text{ML}}] = \frac{n}{n+1}\theta < \theta$
- 最小分散：クラメール・ラオ下界に近い分散
- 漸近有効性：大標本で最適