<h4>一様分布におけるモーメント法</h4><p>モーメント法を一様分布に適用し、最大値パラメータを推定する問題です。</p><h4>一様分布の理論的性質</h4><p class='step'><strong>Step 1: 一様分布の確率密度関数</strong></p><p>一様分布$\text{Uniform}(0, \theta)$の確率密度関数：</p><div class='formula'>$f(x; \theta) = \begin{cases}\frac{1}{\theta} & \text{if } 0 \leq x \leq \theta \\0 & \text{otherwise}\end{cases}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: 理論的モーメントの計算</strong></p><p>第1次モーメント（期待値）：</p><div class='formula'>$E[X] = \int_0^\theta x \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_0^\theta x dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2} = \frac{\theta}{2}
lt;/div><p>第2次モーメント：</p><div class='formula'>$E[X^2] = \int_0^\theta x^2 \cdot \frac{1}{\theta} dx = \frac{1}{\theta} \int_0^\theta x^2 dx = \frac{1}{\theta} \cdot \frac{\theta^3}{3} = \frac{\theta^2}{3}
lt;/div><p>分散：</p><div class='formula'>$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{\theta^2}{3} - \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{\theta^2}{3} - \frac{\theta^2}{4} = \frac{4\theta^2 - 3\theta^2}{12} = \frac{\theta^2}{12}
lt;/div><h4>標本モーメントの計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: 観測データの整理</strong></p><p>標本：$X_1 = 2, X_2 = 4, X_3 = 6
lt;/p><p>標本サイズ：$n = 3
lt;/p><p>第1標本モーメント（標本平均）：</p><div class='formula'>$M_1 = \bar{X} = \frac{1}{3}(2 + 4 + 6) = \frac{12}{3} = 4
lt;/div><p>第2標本モーメント：</p><div class='formula'>$M_2 = \frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 X_i^2 = \frac{1}{3}(2^2 + 4^2 + 6^2) = \frac{1}{3}(4 + 16 + 36) = \frac{56}{3} = 18.67
lt;/div><h4>モーメント法推定量の導出</h4><p class='step'><strong>Step 4: モーメント方程式の設定</strong></p><p>理論的第1モーメントと標本第1モーメントを等置：</p><div class='formula'>$E[X] = M_1 \Rightarrow \frac{\theta}{2} = 4
lt;/div><p>これを$\theta$について解く：</p><div class='formula'>$\theta = 2 \times 4 = 8
lt;/div><h4>モーメント法 vs 最尤法の比較</h4><p class='step'><strong>Step 6: 最尤推定量との比較</strong></p><p>一様分布$\text{Uniform}(0, \theta)$の最尤推定量：</p><div class='formula'>$\hat{\theta}_{\text{ML}} = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} = \max\{2, 4, 6\} = 6
lt;/div><p>比較：</p><table class='table table-bordered'><tr><th>推定法</th><th>推定値</th><th>性質</th></tr><tr><td>モーメント法</td><td>$\hat{\theta} = 8.00
lt;/td><td>不偏、大きめの値</td></tr><tr><td>最尤法</td><td>$\hat{\theta} = 6.00
lt;/td><td>偏りあり、過小推定</td></tr></table><h4>理論的性質と実用性</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>一様分布での推定法の特徴</div><p><strong>モーメント法の特徴</strong>：</p><ul><li><strong>不偏性</strong>：$E[\hat{\theta}] = E[2\bar{X}] = 2 \cdot \frac{\theta}{2} = \theta
lt;/li><li><strong>一致性</strong>：$\hat{\theta} \xrightarrow{P} \theta
lt;/li><li><strong>計算簡便性</strong>：標本平均の2倍という単純な形</li></ul><p><strong>最尤法の特徴</strong>：</p><ul><li><strong>偏り</strong>：$E[\hat{\theta}_{\text{ML}}] = \frac{n}{n+1}\theta < \theta
lt;/li><li><strong>最小分散</strong>：クラメール・ラオ下界に近い分散</li><li><strong>漸近有効性</strong>：大標本で最適</li></ul></div>