<h4>漸近有効性の定義</h4><p>漸近有効性は推定量の大標本での最適性を表す重要な概念で、クラメール・ラオ下界との関連で定義されます。</p><h4>漸近有効性の数学的定義</h4><p class='step'><strong>Step 1: 漸近分散の概念</strong></p><p>推定量$\hat{\theta}_n$の漸近分散は以下のように定義されます：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\hat{\theta}_n) = \lim_{n \to \infty} n \cdot \text{Var}(\hat{\theta}_n)
lt;/div><p>または、推定量が漸近正規分布に従う場合：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, V(\theta))
lt;/div><p>ここで$V(\theta)$が漸近分散です。</p><p class='step'><strong>Step 2: クラメール・ラオ下界</strong></p><p>正則条件下でのクラメール・ラオ下界：</p><div class='formula'>$\text{Var}(\tilde{\theta}) \geq \frac{1}{I(\theta)}
lt;/div><p>ここで$I(\theta)$はフィッシャー情報量、$\tilde{\theta}$は任意の不偏推定量です。</p><p class='step'><strong>Step 3: 漸近有効性の定義</strong></p><p>推定量$\hat{\theta}_n$が漸近有効であるとは：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\hat{\theta}_n) = \frac{1}{I(\theta)}
lt;/div><p>すなわち、漸近分散がクラメール・ラオ下界に一致することです。</p><h4>漸近有効性の具体例</h4><p class='step'><strong>Step 4: 最尤推定量の漸近有効性</strong></p><p>正則条件下で、最尤推定量$\hat{\theta}_{ML}$は漸近有効です：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\hat{\theta}_{ML} - \theta) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{1}{I(\theta)}\right)
lt;/div><p>これは以下を意味します：</p><div class='formula'>$\lim_{n \to \infty} n \cdot \text{Var}(\hat{\theta}_{ML}) = \frac{1}{I(\theta)}
lt;/div><h4>他の選択肢との比較</h4><p class='step'><strong>Step 5: 各概念の関係</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>概念</th><th>定義</th><th>条件</th><th>漸近有効性との関係</th></tr><tr><td>不偏性</td><td>$E[\hat{\theta}_n] = \theta
lt;/td><td>全ての$n
lt;/td><td>必要条件ではない</td></tr><tr><td>一致性</td><td>$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta
lt;/td><td>$n \to \infty
lt;/td><td>必要条件</td></tr><tr><td>MVUE</td><td>不偏かつ最小分散</td><td>有限標本</td><td>有限標本の概念</td></tr><tr><td>十分性</td><td>すべての情報を含む</td><td>統計量の性質</td><td>関連するが同一でない</td></tr><tr><td>漸近有効性</td><td>漸近分散が下界に一致</td><td>$n \to \infty
lt;/td><td>定義そのもの</td></tr></table><h4>漸近有効性の例と反例</h4><p class='step'><strong>Step 6: 正規分布での例</strong></p><p>正規分布$N(\mu, \sigma^2)$（$\sigma^2$既知）からの標本平均：</p><div class='formula'>$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
lt;/div><div class='formula'>$I(\mu) = \frac{n}{\sigma^2}
lt;/div><div class='formula'>$\text{Var}(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{I(\mu)}
lt;/div><p>したがって$\bar{X}_n$は漸近有効です（実際は有限標本でも有効）。</p><p class='step'><strong>Step 7: 非効率な推定量の例</strong></p><p>標本中央値を用いた正規分布の平均推定：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\text{median}) = \frac{\pi \sigma^2}{2}
lt;/div><div class='formula'>$\frac{1}{I(\mu)} = \frac{\sigma^2}{n}
lt;/div><p>漸近相対効率：</p><div class='formula'>$\text{ARE} = \frac{1/I(\mu)}{\text{avar}(\text{median})/n} = \frac{\sigma^2}{\pi \sigma^2/2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.637
lt;/div><p>中央値は漸近有効ではありません。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>漸近有効性の意義</div><ul><li><strong>最適性の保証</strong>：大標本で達成可能な最高の精度</li><li><strong>推定量の比較基準</strong>：異なる推定法の相対的効率評価</li><li><strong>設計の指針</strong>：新しい推定量開発時の目標</li><li><strong>理論的基礎</strong>：統計的推論の基本原理</li></ul></div><h4>漸近有効性の確認方法</h4><p class='step'><strong>Step 8:確認手順</strong></p><ol><li><strong>漸近分布の導出</strong>：中心極限定理やデルタ法を用いる</li><li><strong>フィッシャー情報量の計算</strong>：対数尤度の二階微分から求める</li><li><strong>漸近分散の比較</strong>：推定量の漸近分散と下界を比較</li><li><strong>数値的検証</strong>：シミュレーションによる確認</li></ol><p class='step'><strong>Step 9: 多次元パラメータでの拡張</strong></p><p>パラメータベクトル$\boldsymbol{\theta}$の場合：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\hat{\boldsymbol{\theta}}_n) = I^{-1}(\boldsymbol{\theta})
lt;/div><p>ここで$I(\boldsymbol{\theta})$はフィッシャー情報行列です。</p><p>したがって、漸近有効性とは「推定量の漸近分散がクラメール・ラオ下界に一致する」ことを意味します。</p>