<h4>デルタ法の基本公式</h4><p>デルタ法は、変換された推定量の漸近分散を求める重要な手法です。</p><h4>前提条件の確認</h4><p class='step'><strong>Step 1: 標本平均の性質</strong></p><p>正規分布$N(\mu, \sigma^2)$からの標本$X_1, \ldots, X_n$について：</p><div class='formula'>$E[\bar{X}] = \mu, \quad \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}
lt;/div><p>中心極限定理により：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\bar{X} - \mu) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2)
lt;/div><h4>デルタ法の適用</h4><p class='step'><strong>Step 2: 変換関数の微分</strong></p><p>変換関数$g(\mu) = \mu^2$について、導関数を求めます：</p><div class='formula'>$g'(\mu) = \frac{d}{d\mu}\mu^2 = 2\mu
lt;/div><p class='step'><strong>Step 3: デルタ法の適用</strong></p><p>デルタ法の基本公式：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(g(\bar{X}) - g(\mu)) \xrightarrow{d} N(0, [g'(\mu)]^2 \sigma^2)
lt;/div><p>導関数$g'(\mu) = 2\mu$を代入：</p><div class='formula'>$\sqrt{n}(\bar{X}^2 - \mu^2) \xrightarrow{d} N(0, (2\mu)^2 \sigma^2)
lt;/div><div class='formula'>$= N(0, 4\mu^2\sigma^2)
lt;/div><h4>漸近分散の導出</h4><p class='step'><strong>Step 4: 漸近分散の計算</strong></p><p>上式を整理すると：</p><div class='formula'>$\bar{X}^2 - \mu^2 \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}\right)
lt;/div><p>したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\bar{X}^2) = \frac{4\mu^2\sigma^2}{n}
lt;/div><h4>結果の解釈</h4><p class='step'><strong>Step 5: 分散の構造</strong></p><p>漸近分散$\frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$の各要素の意味：</p><ul><li><strong>$4\mu^2
lt;/strong>：変換関数の導関数の2乗$(g'(\mu))^2 = (2\mu)^2
lt;/li><li><strong>$\sigma^2
lt;/strong>：元の分布の分散</li><li><strong>$\frac{1}{n}
lt;/strong>：標本サイズによる分散の減少</li></ul><p class='step'><strong>Step 6: 特殊なケース</strong></p><p>$\mu = 0$の場合：</p><div class='formula'>$\text{avar}(\bar{X}^2) = \frac{4 \cdot 0^2 \cdot \sigma^2}{n} = 0
lt;/div><p>これは$\mu = 0$のとき$\bar{X}^2$の期待値が$\frac{\sigma^2}{n}$で一定になることを示しています。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>デルタ法の重要性</div><ul><li><strong>変換統計量の分散</strong>：非線形変換された統計量の漸近分散を求める</li><li><strong>信頼区間の構成</strong>：変換後のパラメータの区間推定に利用</li><li><strong>実用的な応用</strong>：多くの統計手法で使用される基本的な手法</li></ul></div><h4>計算手順のまとめ</h4><p class='step'><strong>Step 7: 一般的な手順</strong></p><ol><li>元の推定量の漸近分布を確認</li><li>変換関数の導関数を計算</li><li>デルタ法の公式を適用</li><li>漸近分散を導出</li></ol><p>したがって、$\bar{X}^2$の漸近分散は$\frac{4\mu^2\sigma^2}{n}$となります。</p>