<h4>一標本の分散の検定</h4><p>正規分布に従う母集団からの標本を用いて、母分散に関する仮説検定を行います。</p><h4>カイ二乗検定統計量の理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: 検定統計量の定義</strong></p><p>標本分散$s^2$を用いた母分散の検定統計量：</p><div class='formula'>$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
lt;/div><p>ここで、$n$は標本サイズ、$s^2$は標本分散、$\sigma_0^2$は帰無仮説の分散値です。</p><p class='step'><strong>Step 2: 検定統計量の分布</strong></p><p>帰無仮説$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$の下で、検定統計量は自由度$\nu = n-1$のカイ二乗分布に従います：</p><div class='formula'>$\chi^2 \sim \chi^2_{n-1}
lt;/div><h4>与えられた情報の整理</h4><p class='step'><strong>Step 3: 数値の確認</strong></p><p>与えられた情報：</p><ul><li>標本サイズ：$n = 10
lt;/li><li>標本分散：$s^2 = 12.5
lt;/li><li>帰無仮説の分散：$\sigma_0^2 = 16
lt;/li><li>自由度：$\nu = n - 1 = 10 - 1 = 9
lt;/li></ul><h4>検定統計量の計算</h4><p class='step'><strong>Step 4: カイ二乗統計量の算出</strong></p><p>検定統計量の計算：</p><div class='formula'>$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{(10-1) \times 12.5}{16} = \frac{9 \times 12.5}{16}
lt;/div><div class='formula'>$= \frac{112.5}{16} = 7.03125
lt;/div><p>小数第2位まで求めると：</p><div class='formula'>$\chi^2 = 7.03
lt;/div><p class='step'><strong>Step 5: 計算の検証</strong></p><p>計算過程の確認：</p><ul><li>$(n-1) = 9
lt;/li><li>$s^2 = 12.5
lt;/li><li>$(n-1)s^2 = 9 \times 12.5 = 112.5
lt;/li><li>$\sigma_0^2 = 16
lt;/li><li>$\chi^2 = \frac{112.5}{16} = 7.03125
lt;/li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>一標本分散検定の特徴</div><ul><li><strong>正規性の仮定</strong>：母集団が正規分布に従うことが必要</li><li><strong>独立性の仮定</strong>：各観測値が独立に抽出されること</li><li><strong>自由度</strong>：$n-1$（標本平均の推定により1つ減少）</li><li><strong>両側検定</strong>：分散の大小両方向を検定</li><li><strong>頑健性</strong>：正規性からの逸脱に敏感</li></ul></div><h4>検定の実施と判定</h4><p class='step'><strong>Step 6: 臨界値との比較</strong></p><p>有意水準$\alpha = 0.05$の両側検定の場合、自由度9のカイ二乗分布の臨界値：</p><ul><li>下側臨界値：$\chi^2_{0.025,9} = 2.700
lt;/li><li>上側臨界値：$\chi^2_{0.975,9} = 19.023
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 7: 判定結果</strong></p><p>検定統計量$\chi^2 = 7.03$について：</p><ul><li>$2.700 < 7.03 < 19.023$：棄却域に入らない</li><li>結論：帰無仮説$H_0: \sigma^2 = 16$を棄却しない</li><li>つまり、5%水準で母分散は16と有意に異ならない</li></ul>