統計的推測（検定）

仮説検定の基本概念、検定統計量の分布、有意水準と検出力、多重比較など統計検定準1級レベルの検定理論

一標本の分散の検定レベル1

正規分布に従う母集団から標本サイズ$n = 10$の標本を抽出し、標本分散$s^2 = 12.5$が得られた。母分散$\sigma^2 = 16$に対する検定を行う。仮説$H_0: \sigma^2 = 16$に対するカイ二乗検定統計量$\chi^2$を計算せよ。小数第2位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

正規分布に従う母集団からの標本を用いて、母分散に関する仮説検定を行います。

Step 1: 検定統計量の定義

標本分散$s^2$を用いた母分散の検定統計量：

$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$

ここで、$n$は標本サイズ、$s^2$は標本分散、$\sigma_0^2$は帰無仮説の分散値です。

Step 2: 検定統計量の分布

帰無仮説$H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$の下で、検定統計量は自由度$\nu = n-1$のカイ二乗分布に従います：

$\chi^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Step 3: 数値の確認

与えられた情報：

Step 4: カイ二乗統計量の算出

検定統計量の計算：

$\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} = \frac{(10-1) \times 12.5}{16} = \frac{9 \times 12.5}{16}$

$= \frac{112.5}{16} = 7.03125$

小数第2位まで求めると：

$\chi^2 = 7.03$

Step 5: 計算の検証

計算過程の確認：

一標本分散検定の特徴

Step 6: 臨界値との比較

有意水準$\alpha = 0.05$の両側検定の場合、自由度9のカイ二乗分布の臨界値：

Step 7: 判定結果

検定統計量$\chi^2 = 7.03$について：

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