統計的推測（検定）

仮説検定の基本概念、検定統計量の分布、有意水準と検出力、多重比較など統計検定準1級レベルの検定理論

二標本の分散の検定レベル1

2つの正規分布に従う独立な母集団から標本を抽出した。標本1：$n_1 = 8$、$s_1^2 = 25$、標本2：$n_2 = 12$、$s_2^2 = 16$が得られた。仮説$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$に対するF検定統計量を計算せよ。小数第2位まで求めよ。

解説

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2つの正規分布に従う独立な母集団の分散が等しいかどうかを検定するF検定について説明します。

Step 1: 検定統計量の定義

2つの標本分散を用いたF検定統計量：

$F = \frac{s_1^2}{s_2^2}$

ここで、慣例として大きい方の標本分散を分子に置くことが多いですが、本問題では標本1を分子とします。

Step 2: 検定統計量の分布

帰無仮説$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$の下で、検定統計量は自由度$(\nu_1, \nu_2)$のF分布に従います：

$F \sim F_{\nu_1, \nu_2}$

ここで$\nu_1 = n_1 - 1$、$\nu_2 = n_2 - 1$です。

Step 3: 数値の確認

与えられた情報：

Step 4: F統計量の算出

検定統計量の計算：

$F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{25}{16} = 1.5625$

小数第2位まで求めると：

$F = 1.56$

Step 5: 計算の検証

計算過程の確認：

F検定の特徴

Step 6: 臨界値との比較

有意水準$\alpha = 0.05$の両側検定の場合、自由度$(7, 11)$のF分布の臨界値：

上側臨界値：$F_{0.025,7,11} \approx 3.60$
下側臨界値：$F_{0.975,7,11} = \frac{1}{F_{0.025,11,7}} \approx \frac{1}{3.01} \approx 0.33$

Step 7: 判定結果

検定統計量$F = 1.56$について：

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