２標本の平均の検定（分散は未知）
2つの独立な正規母集団の平均を比較するt検定について説明します。等分散性を仮定した場合の検定統計量を求めます。
２標本t検定の理論的基礎
Step 1: 検定の仮定
２標本t検定の前提条件：
- 正規性：各母集団が正規分布に従う
- 独立性：2つの標本が独立に抽出される
- 等分散性：$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$
Step 2: 検定仮説
帰無仮説と対立仮説：
$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
等分散を仮定した検定統計量
Step 3: 合併分散の計算
等分散を仮定した場合の合併分散：
$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
与えられた値を代入：
$s_p^2 = \frac{(8-1) \times 4.2 + (10-1) \times 3.8}{8 + 10 - 2} = \frac{7 \times 4.2 + 9 \times 3.8}{16}$
$= \frac{29.4 + 34.2}{16} = \frac{63.6}{16} = 3.975$
合併標準偏差：
$s_p = \sqrt{3.975} = 1.994$
Step 4: 標準誤差の計算
平均値の差の標準誤差：
$SE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$
$= 1.994 \times \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{10}} = 1.994 \times \sqrt{0.125 + 0.1}$
$= 1.994 \times \sqrt{0.225} = 1.994 \times 0.474 = 0.946$
t検定統計量の計算
Step 5: t統計量の算出
t検定統計量：
$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \frac{23.5 - 21.2}{0.946} = \frac{2.3}{0.946} \approx 2.43$
２標本t検定の特徴
- 等分散の仮定：F検定で事前に確認
- 合併分散：両標本から共通分散を推定
- 自由度：$\nu = n_1 + n_2 - 2$
- 対称分布：t分布による両側検定
- 頑健性：軽微な正規性の逸脱に頑健
検定の実施と判定
Step 7: 自由度と臨界値
自由度：
$\nu = n_1 + n_2 - 2 = 8 + 10 - 2 = 16$
有意水準$\alpha = 0.05$（両側）での臨界値：
$t_{0.025, 16} = 2.120$
Step 8: 判定結果
検定統計量$t = 2.43$について：
- $|t| = 2.43 > 2.120$：棄却域に入る
- 結論：帰無仮説$H_0: \mu_1 = \mu_2$を棄却
- つまり、5%水準で2つの母平均に有意差がある
ウェルチのt検定との比較
Step 9: 等分散性の仮定が成り立たない場合
ウェルチのt検定（等分散を仮定しない）：
$t_{Welch} = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$
自由度の調整：
$\nu_{Welch} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$
Step 10: 等分散性の事前検定
F検定による等分散性の確認：
$F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{4.2}{3.8} = 1.11$
$F_{0.05, 7, 9} = 3.29$と比較すると、等分散性の仮定は妥当と判断されます。
効果量とその意義
Step 11: コーエンのd
効果量（コーエンのd）：
$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p} = \frac{2.3}{1.994} = 1.15$
効果量の解釈：
- $d = 1.15$：大きい効果（$d > 0.8$）
- 実務的にも意味のある差
- 統計的有意性と実務的意義が一致