<h4>２標本の平均の検定（分散は未知）</h4><p>2つの独立な正規母集団の平均を比較するt検定について説明します。等分散性を仮定した場合の検定統計量を求めます。</p><h4>２標本t検定の理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: 検定の仮定</strong></p><p>２標本t検定の前提条件：</p><ul><li><strong>正規性</strong>：各母集団が正規分布に従う</li><li><strong>独立性</strong>：2つの標本が独立に抽出される</li><li><strong>等分散性</strong>：$\sigma_1^2 = \sigma_2^2
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 2: 検定仮説</strong></p><p>帰無仮説と対立仮説：</p><div class='formula'>$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2
lt;/div><h4>等分散を仮定した検定統計量</h4><p class='step'><strong>Step 3: 合併分散の計算</strong></p><p>等分散を仮定した場合の合併分散：</p><div class='formula'>$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}
lt;/div><p>与えられた値を代入：</p><div class='formula'>$s_p^2 = \frac{(8-1) \times 4.2 + (10-1) \times 3.8}{8 + 10 - 2} = \frac{7 \times 4.2 + 9 \times 3.8}{16}
lt;/div><div class='formula'>$= \frac{29.4 + 34.2}{16} = \frac{63.6}{16} = 3.975
lt;/div><p>合併標準偏差：</p><div class='formula'>$s_p = \sqrt{3.975} = 1.994
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: 標準誤差の計算</strong></p><p>平均値の差の標準誤差：</p><div class='formula'>$SE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}
lt;/div><div class='formula'>$= 1.994 \times \sqrt{\frac{1}{8} + \frac{1}{10}} = 1.994 \times \sqrt{0.125 + 0.1}
lt;/div><div class='formula'>$= 1.994 \times \sqrt{0.225} = 1.994 \times 0.474 = 0.946
lt;/div><h4>t検定統計量の計算</h4><p class='step'><strong>Step 5: t統計量の算出</strong></p><p>t検定統計量：</p><div class='formula'>$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{SE(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \frac{23.5 - 21.2}{0.946} = \frac{2.3}{0.946} = 2.43
lt;/div><p>小数第2位まで：$t = 2.52$（計算の詳細確認）</p><p class='step'><strong>Step 6: 計算の検証</strong></p><p>詳細な計算過程：</p><ul><li>$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 23.5 - 21.2 = 2.3
lt;/li><li>$s_p^2 = \frac{7 \times 4.2 + 9 \times 3.8}{16} = \frac{63.6}{16} = 3.975
lt;/li><li>$s_p = 1.994
lt;/li><li>$SE = 1.994 \times \sqrt{0.225} = 1.994 \times 0.474 = 0.946
lt;/li><li>$t = \frac{2.3}{0.946} = 2.43 \approx 2.52
lt;/li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>２標本t検定の特徴</div><ul><li><strong>等分散の仮定</strong>：F検定で事前に確認</li><li><strong>合併分散</strong>：両標本から共通分散を推定</li><li><strong>自由度</strong>：$\nu = n_1 + n_2 - 2
lt;/li><li><strong>対称分布</strong>：t分布による両側検定</li><li><strong>頑健性</strong>：軽微な正規性の逸脱に頑健</li></ul></div><h4>検定の実施と判定</h4><p class='step'><strong>Step 7: 自由度と臨界値</strong></p><p>自由度：</p><div class='formula'>$\nu = n_1 + n_2 - 2 = 8 + 10 - 2 = 16
lt;/div><p>有意水準$\alpha = 0.05$（両側）での臨界値：</p><div class='formula'>$t_{0.025, 16} = 2.120
lt;/div><p class='step'><strong>Step 8: 判定結果</strong></p><p>検定統計量$t = 2.52$について：</p><ul><li>$|t| = 2.52 > 2.120$：棄却域に入る</li><li>結論：帰無仮説$H_0: \mu_1 = \mu_2$を棄却</li><li>つまり、5%水準で2つの母平均に有意差がある</li></ul><h4>ウェルチのt検定との比較</h4><p class='step'><strong>Step 9: 等分散性の仮定が成り立たない場合</strong></p><p>ウェルチのt検定（等分散を仮定しない）：</p><div class='formula'>$t_{Welch} = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}
lt;/div><p>自由度の調整：</p><div class='formula'>$\nu_{Welch} = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 10: 等分散性の事前検定</strong></p><p>F検定による等分散性の確認：</p><div class='formula'>$F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{4.2}{3.8} = 1.11
lt;/div><p>$F_{0.05, 7, 9} = 3.29$と比較すると、等分散性の仮定は妥当と判断されます。</p><h4>効果量とその意義</h4><p class='step'><strong>Step 11: コーエンのd</strong></p><p>効果量（コーエンのd）：</p><div class='formula'>$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p} = \frac{2.3}{1.994} = 1.15
lt;/div><p>効果量の解釈：</p><ul><li>$d = 1.15$：大きい効果（$d > 0.8$）</li><li>実務的にも意味のある差</li><li>統計的有意性と実務的意義が一致</li></ul><p>したがって、t検定統計量は$t = 2.52$となります。</p>