<h4>ポアソン分布に関する検定</h4><p>ポアソン分布のパラメータに関する仮説検定を、正規近似を用いて行います。</p><h4>ポアソン分布の検定理論</h4><p class='step'><strong>Step 1: ポアソン分布の性質</strong></p><p>ポアソン分布$\text{Pois}(\lambda)$の性質：</p><div class='formula'>$E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda
lt;/div><p>独立な観測値$X_1, X_2, \ldots, X_n$について：</p><div class='formula'>$S = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Pois}(n\lambda)
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: 正規近似による検定統計量</strong></p><p>大標本において、ポアソン分布は正規分布で近似可能：</p><div class='formula'>$S \sim N(n\lambda, n\lambda)
lt;/div><p>標準化により：</p><div class='formula'>$Z = \frac{S - n\lambda_0}{\sqrt{n\lambda_0}} \sim N(0,1)
lt;/div><h4>データの整理と計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: 観測データの整理</strong></p><p>与えられた観測値：</p><ul><li>$X_1=3, X_2=1, X_3=4, X_4=2
lt;/li><li>$X_5=5, X_6=1, X_7=3, X_8=2
lt;/li><li>観測時間数：$n = 8
lt;/li><li>帰無仮説：$H_0: \lambda = 2.0
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 4: 合計値の計算</strong></p><p>観測値の合計：</p><div class='formula'>$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_8 = 3 + 1 + 4 + 2 + 5 + 1 + 3 + 2 = 21
lt;/div><p class='step'><strong>Step 5: 期待値と分散の計算</strong></p><p>帰無仮説の下での期待値と分散：</p><div class='formula'>$E[S] = n\lambda_0 = 8 \times 2.0 = 16
lt;/div><div class='formula'>$\text{Var}(S) = n\lambda_0 = 8 \times 2.0 = 16
lt;/div><div class='formula'>$\text{SD}(S) = \sqrt{16} = 4
lt;/div><h4>検定統計量の計算</h4><p class='step'><strong>Step 6: Z統計量の算出</strong></p><div class='formula'>$Z = \frac{S - n\lambda_0}{\sqrt{n\lambda_0}} = \frac{21 - 16}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} = 1.25
lt;/div>