ポアソン分布に関する検定
ポアソン分布のパラメータに関する仮説検定を、正規近似を用いて行います。
ポアソン分布の検定理論
Step 1: ポアソン分布の性質
ポアソン分布$\text{Pois}(\lambda)$の性質：
$E[X] = \lambda, \quad \text{Var}(X) = \lambda$
独立な観測値$X_1, X_2, \ldots, X_n$について：
$S = \sum_{i=1}^n X_i \sim \text{Pois}(n\lambda)$
Step 2: 正規近似による検定統計量
大標本において、ポアソン分布は正規分布で近似可能：
$S \sim N(n\lambda, n\lambda)$
標準化により：
$Z = \frac{S - n\lambda_0}{\sqrt{n\lambda_0}} \sim N(0,1)$
データの整理と計算
Step 3: 観測データの整理
与えられた観測値：
- $X_1=3, X_2=1, X_3=4, X_4=2$
- $X_5=5, X_6=1, X_7=3, X_8=2$
- 観測時間数：$n = 8$
- 帰無仮説：$H_0: \lambda = 2.0$
Step 4: 合計値の計算
観測値の合計：
$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_8 = 3 + 1 + 4 + 2 + 5 + 1 + 3 + 2 = 21$
Step 5: 期待値と分散の計算
帰無仮説の下での期待値と分散：
$E[S] = n\lambda_0 = 8 \times 2.0 = 16$
$\text{Var}(S) = n\lambda_0 = 8 \times 2.0 = 16$
$\text{SD}(S) = \sqrt{16} = 4$
検定統計量の計算
Step 6: Z統計量の算出
$Z = \frac{S - n\lambda_0}{\sqrt{n\lambda_0}} = \frac{21 - 16}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} = 1.25$