<h4>ウィルコクソンの順位和検定</h4><p>分布の形に関する仮定を置かない非パラメトリック検定により、2つの独立標本の位置の差を検定する方法について説明します。</p><h4>ウィルコクソンの順位和検定の理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: 検定の前提条件</strong></p><p>ウィルコクソンの順位和検定（マン・ホイットニーのU検定）の仮定：</p><ul><li><strong>独立性</strong>：2つの標本は独立に抽出される</li><li><strong>順序性</strong>：観測値は順序づけ可能</li><li><strong>連続性</strong>：同順位（タイ）がない（または少ない）</li></ul><p class='step'><strong>Step 2: 帰無仮説と対立仮説</strong></p><p>検定仮説：</p><div class='formula'>$H_0: \text{2つの分布が同一} \quad \text{vs} \quad H_1: \text{分布に位置の違いがある}
lt;/div><p>より厳密には：</p><div class='formula'>$H_0: P(X_1 > X_2) = 0.5 \quad \text{vs} \quad H_1: P(X_1 > X_2) \neq 0.5
lt;/div><h4>順位付けと順位和の計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: データの整理</strong></p><p>与えられた観測値：</p><ul><li>標本1：$x_1 = 12, 15, 18, 21$ （$n_1 = 4$）</li><li>標本2：$x_2 = 14, 16, 19, 22, 25$ （$n_2 = 5$）</li><li>総標本サイズ：$N = n_1 + n_2 = 9
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 4: 統合順位付け</strong></p><p>全観測値を昇順に並べ、順位を付与：</p><table class='table table-bordered'><tr><th>観測値</th><th>12</th><th>14</th><th>15</th><th>16</th><th>18</th><th>19</th><th>21</th><th>22</th><th>25</th></tr><tr><td>順位</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td></tr><tr><td>標本</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr></table><p class='step'><strong>Step 5: 標本1の順位和$R_1$の計算</strong></p><p>標本1の観測値とその順位：</p><ul><li>$x_1 = 12$：順位 1</li><li>$x_1 = 15$：順位 3</li><li>$x_1 = 18$：順位 5</li><li>$x_1 = 21$：順位 7</li></ul><p>標本1の順位和：</p><div class='formula'>$R_1 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
lt;/div><p>検算のため標本2の順位和：</p><div class='formula'>$R_2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 9 = 29
lt;/div><p>総順位和の確認：</p><div class='formula'>$R_1 + R_2 = 16 + 29 = 45 = \frac{N(N+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$ ✓</div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ウィルコクソンの順位和検定の特徴</div><ul><li><strong>分布フリー</strong>：母集団の分布に依存しない</li><li><strong>頑健性</strong>：外れ値に対して頑健</li><li><strong>効率性</strong>：正規分布でも高い相対効率（95%）</li><li><strong>適用範囲</strong>：順序尺度データにも適用可能</li><li><strong>直感性</strong>：順位に基づく明確な論理</li></ul></div><h4>検定統計量の計算と分布</h4><p class='step'><strong>Step 6: ウィルコクソンのW統計量</strong></p><p>ウィルコクソンのW統計量は、小さい方の標本の順位和：</p><div class='formula'>$W = \min(R_1, R_2) = \min(16, 29) = 16
lt;/div><p class='step'><strong>Step 7: マン・ホイットニーのU統計量</strong></p><p>マン・ホイットニーのU統計量：</p><div class='formula'>$U_1 = R_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2} = 16 - \frac{4 \times 5}{2} = 16 - 10 = 6
lt;/div><div class='formula'>$U_2 = R_2 - \frac{n_2(n_2+1)}{2} = 29 - \frac{5 \times 6}{2} = 29 - 15 = 14
lt;/div><p>確認：$U_1 + U_2 = 6 + 14 = 20 = n_1 \times n_2 = 4 \times 5$ ✓</p><h4>統計量の分布と正規近似</h4><p class='step'><strong>Step 8: 正確分布（小標本）</strong></p><p>小標本の場合、順位和$R_1$の分布は組み合わせ論的に導出可能：</p><div class='formula'>$P(R_1 = r) = \frac{\binom{N}{n_1}から順位和がrとなる組み合わせ数}{\binom{N}{n_1}}
lt;/div><p class='step'><strong>Step 9: 正規近似（大標本）</strong></p><p>大標本の場合、順位和$R_1$は近似的に正規分布に従う：</p><div class='formula'>$E[R_1] = \frac{n_1(N+1)}{2} = \frac{4 \times 10}{2} = 20
lt;/div><div class='formula'>$\text{Var}(R_1) = \frac{n_1 n_2 (N+1)}{12} = \frac{4 \times 5 \times 10}{12} = \frac{200}{12} = 16.67
lt;/div><p>標準化統計量：</p><div class='formula'>$Z = \frac{R_1 - E[R_1]}{\sqrt{\text{Var}(R_1)}} = \frac{16 - 20}{\sqrt{16.67}} = \frac{-4}{4.08} = -0.98
lt;/div>