<h4>生存解析の検定手法（ログランク検定）</h4><p>打ち切り（censoring）のあるデータにおいて、2つの群の生存曲線を比較するログランク検定について説明します。</p><h4>ログランク検定の理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: 生存解析の基本概念</strong></p><p>生存解析では以下の概念が重要です：</p><ul><li><strong>生存時間</strong>：イベント発生までの時間</li><li><strong>打ち切り</strong>：観測期間内にイベントが観測されない</li><li><strong>生存関数</strong>：$S(t) = P(T > t)
lt;/li><li><strong>ハザード関数</strong>：$h(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{P(t \leq T < t+\Delta t | T \geq t)}{\Delta t}
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 2: ログランク検定の仮説</strong></p><p>帰無仮説と対立仮説：</p><div class='formula'>$H_0: S_A(t) = S_B(t) \quad \text{すべての} t \text{について}
lt;/div><div class='formula'>$H_1: S_A(t) \neq S_B(t) \quad \text{少なくとも一つの} t \text{について}
lt;/div><p>つまり、2つの群の生存曲線が等しいかどうかを検定します。</p><h4>データの整理と生存表の作成</h4><p class='step'><strong>Step 3: 観測データの整理</strong></p><p>与えられたデータ：</p><ul><li><strong>治療群A</strong>：5, 8, 12+, 15, 18+（$n_A = 5$）</li><li><strong>治療群B</strong>：3, 7, 10, 14+, 20+（$n_B = 5$）</li></ul><p>ここで「+」は打ち切りを表します。</p><p class='step'><strong>Step 4: イベント時点の統合</strong></p><p>全イベント時点を昇順に並べ、生存表を作成：</p><table class='table table-bordered'><tr><th>時点$t_i
lt;/th><th>群A死亡数$d_{Ai}
lt;/th><th>群B死亡数$d_{Bi}
lt;/th><th>群Aリスク数$n_{Ai}
lt;/th><th>群Bリスク数$n_{Bi}
lt;/th><th>総死亡数$d_i
lt;/th><th>総リスク数$n_i
lt;/th></tr><tr><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>5</td><td>5</td><td>1</td><td>10</td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>0</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>7</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>4</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>8</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td><td>3</td><td>1</td><td>7</td></tr><tr><td>10</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>6</td></tr><tr><td>12</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>14</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>15</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td></tr></table><p class='step'><strong>Step 5: 期待死亡数の計算</strong></p><p>各時点での群Aの期待死亡数：</p><div class='formula'>$E_{Ai} = \frac{n_{Ai} \times d_i}{n_i}
lt;/div><p>各時点の計算：</p><ul><li>$t=3$: $E_{A3} = \frac{5 \times 1}{10} = 0.5
lt;/li><li>$t=5$: $E_{A5} = \frac{5 \times 1}{9} = 0.556
lt;/li><li>$t=7$: $E_{A7} = \frac{4 \times 1}{8} = 0.5
lt;/li><li>$t=8$: $E_{A8} = \frac{4 \times 1}{7} = 0.571
lt;/li><li>$t=10$: $E_{A10} = \frac{3 \times 1}{6} = 0.5
lt;/li><li>$t=15$: $E_{A15} = \frac{2 \times 1}{3} = 0.667
lt;/li></ul><h4>ログランク統計量の計算</h4><p class='step'><strong>Step 6: 観測死亡数と期待死亡数の合計</strong></p><p>群Aの観測死亡数の合計：</p><div class='formula'>$O_A = \sum d_{Ai} = 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3
lt;/div><p>群Aの期待死亡数の合計：</p><div class='formula'>$E_A = \sum E_{Ai} = 0.5 + 0.556 + 0.5 + 0.571 + 0.5 + 0.667 = 3.294
lt;/div><p class='step'><strong>Step 7: 分散の計算</strong></p><p>ログランク統計量の分散：</p><div class='formula'>$V_A = \sum \frac{n_{Ai} n_{Bi} d_i (n_i - d_i)}{n_i^2 (n_i - 1)}
lt;/div><p>各時点の分散成分：</p><ul><li>$t=3$: $V_3 = \frac{5 \times 5 \times 1 \times 9}{10^2 \times 9} = \frac{225}{900} = 0.25
lt;/li><li>$t=5$: $V_5 = \frac{5 \times 4 \times 1 \times 8}{9^2 \times 8} = \frac{160}{648} = 0.247
lt;/li><li>$t=7$: $V_7 = \frac{4 \times 4 \times 1 \times 7}{8^2 \times 7} = \frac{112}{448} = 0.25
lt;/li><li>$t=8$: $V_8 = \frac{4 \times 3 \times 1 \times 6}{7^2 \times 6} = \frac{72}{294} = 0.245
lt;/li><li>$t=10$: $V_{10} = \frac{3 \times 3 \times 1 \times 5}{6^2 \times 5} = \frac{45}{180} = 0.25
lt;/li><li>$t=15$: $V_{15} = \frac{2 \times 1 \times 1 \times 2}{3^2 \times 2} = \frac{4}{18} = 0.222
lt;/li></ul><p>総分散：</p><div class='formula'>$V_A = 0.25 + 0.247 + 0.25 + 0.245 + 0.25 + 0.222 = 1.464
lt;/div><p class='step'><strong>Step 8: ログランク検定統計量</strong></p><p>ログランク検定統計量：</p><div class='formula'>$\chi^2_{LR} = \frac{(O_A - E_A)^2}{V_A} = \frac{(3 - 3.294)^2}{1.464} = \frac{(-0.294)^2}{1.464} = \frac{0.0864}{1.464} = 0.059
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ログランク検定の特徴</div><ul><li><strong>打ち切り対応</strong>：不完全観測データの適切な処理</li><li><strong>非パラメトリック</strong>：分布の仮定が不要</li><li><strong>比例ハザード</strong>：ハザード比が時間によらず一定</li><li><strong>検出力</strong>：ハザード関数の差の検出に優れる</li><li><strong>頑健性</strong>：様々な生存分布に適用可能</li></ul></div><h4>統計的推論と判定</h4><p class='step'><strong>Step 9: 漸近分布と判定</strong></p><p>大標本において、ログランク統計量は：</p><div class='formula'>$\chi^2_{LR} \xrightarrow{d} \chi^2_1
lt;/div><p>自由度1のカイ二乗分布に従います。</p><p>有意水準$\alpha = 0.05$での判定：</p><ul><li>臨界値：$\chi^2_{0.05,1} = 3.84
lt;/li><li>$\chi^2_{LR} = 0.06 < 3.84$：帰無仮説を棄却しない</li><li>結論：5%水準で2つの治療群の生存曲線に有意差はない</li></ul><h4>カプラン・マイヤー推定との関係</h4><p class='step'><strong>Step 10: 生存曲線の推定</strong></p><p>カプラン・マイヤー推定量：</p><div class='formula'>$\hat{S}(t) = \prod_{t_i \leq t} \left(1 - \frac{d_i}{n_i}\right)
lt;/div><p>各群の生存確率の推定により、視覚的な比較も可能です。</p><p class='step'><strong>Step 11: 他の検定法との比較</strong></p><table class='table table-bordered'><tr><th>検定法</th><th>特徴</th><th>適用場面</th></tr><tr><td>ログランク検定</td><td>全期間で等しい重み</td><td>比例ハザード仮定下</td></tr><tr><td>ウィルコクソン検定</td><td>早期に重み</td><td>早期の差が重要</td></tr><tr><td>テローン検定</td><td>後期に重み</td><td>長期効果が重要</td></tr><tr><td>重み付きログランク</td><td>任意の重み関数</td><td>特定パターンの差</td></tr></table>