因子分析の回転手法：バリマックス回転の理論と実践
因子回転の必要性
初期の因子解（主因子法や最尤法）は数学的に最適でも、解釈が困難な場合があります。因子回転は、データの当てはまりを変えずに、より解釈しやすい因子構造を得るための手法です。
バリマックス回転の基本原理
Step 1: 回転の数学的定式化
因子負荷行列$\mathbf{L}$を直交行列$\mathbf{T}$で回転：
$\mathbf{L}^* = \mathbf{L}\mathbf{T}$
ここで、$\mathbf{T}^T\mathbf{T} = \mathbf{I}$（直交変換）
Step 2: バリマックス基準の定義
バリマックス回転は、各因子の負荷量の分散を最大化します：
$V = \sum_{j=1}^{m} \left[ \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^4 - \left(\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^2\right)^2 \right]$
ここで：
- $\lambda_{ij}^*$：回転後の因子負荷量
- $p$：変数の数
- $m$：因子の数
バリマックス基準の解釈
この基準は、各因子において「高い負荷量」と「低い負荷量」を明確に分離することを目的とします。理想的には、各変数が1つの因子に高い負荷を持ち、他の因子には低い負荷を持つ「単純構造」を実現します。
Step 3: 簡略化されたバリマックス基準
実際の計算では、以下の簡略化された基準を使用：
$V = \sum_{j=1}^{m} \left[ \sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^4 - \frac{1}{p}\left(\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^2\right)^2 \right]$
Step 4: 回転アルゴリズム
最も一般的なアルゴリズムは**カイザー法**：
- 初期設定：$\mathbf{T} = \mathbf{I}$（単位行列）
- 反復計算：各因子ペアについて2次元回転を実行
- 収束判定：回転角度が閾値以下になるまで反復
- 最終化：収束した回転行列を適用
Step 5: 2次元回転の詳細
因子$j$と$k$の2次元回転角$\theta$は以下で決定：
$\tan(4\theta) = \frac{2(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2 \lambda_{ik}^2 - \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2 \sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^2)}{\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^4 - \sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^4 - \frac{1}{p}(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2)^2 + \frac{1}{p}(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^2)^2}$
直交回転と斜交回転の比較
| 回転手法 | 因子間相関 | 特徴 | 適用場面 |
|---|
| 直交回転 | 0（独立） | 解釈が簡単 | 因子が独立と仮定 |
| 斜交回転 | 非零（相関あり） | 現実的 | 因子間に相関が予想 |
Step 6: 主要な回転手法の比較
| 回転手法 | 種類 | 最適化基準 | 特徴 |
|---|
| バリマックス | 直交 | 負荷量分散最大化 | 単純構造、解釈容易 |
| クォーティマックス | 直交 | 変数の複雑さ最小化 | 一般因子を強調 |
| エクイマックス | 直交 | バリマックスとクォーティマックスの中間 | バランス型 |
| プロマックス | 斜交 | バリマックス→斜交変換 | 高速計算 |
| オブリミン | 斜交 | 単純性最大化 | 柔軟性高 |
Step 7: 回転の不変性
因子回転は以下の統計量を保持します：
- 共通性：$h_i^2 = \sum_{j=1}^{m} (\lambda_{ij}^*)^2$
- 全分散：$\sum_{i=1}^{p} h_i^2$
- 適合度：$\chi^2$統計量や各種適合指標