<h4>因子分析の回転手法：バリマックス回転の理論と実践</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>因子回転の必要性</div><p>初期の因子解（主因子法や最尤法）は数学的に最適でも、解釈が困難な場合があります。因子回転は、データの当てはまりを変えずに、より解釈しやすい因子構造を得るための手法です。</p></div><h4>バリマックス回転の基本原理</h4><p class='step'><strong>Step 1: 回転の数学的定式化</strong></p><p>因子負荷行列$\mathbf{L}$を直交行列$\mathbf{T}$で回転：</p><div class='formula'>$\mathbf{L}^* = \mathbf{L}\mathbf{T}
lt;/div><p>ここで、$\mathbf{T}^T\mathbf{T} = \mathbf{I}$（直交変換）</p><p class='step'><strong>Step 2: バリマックス基準の定義</strong></p><p>バリマックス回転は、各因子の負荷量の分散を最大化します：</p><div class='formula'>$V = \sum_{j=1}^{m} \left[ \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^4 - \left(\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^2\right)^2 \right]
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\lambda_{ij}^*$：回転後の因子負荷量</li><li>$p$：変数の数</li><li>$m$：因子の数</li></ul><div class='key-point'><h4>バリマックス基準の解釈</h4><p>この基準は、各因子において「高い負荷量」と「低い負荷量」を明確に分離することを目的とします。理想的には、各変数が1つの因子に高い負荷を持ち、他の因子には低い負荷を持つ「単純構造」を実現します。</p></div><p class='step'><strong>Step 3: 簡略化されたバリマックス基準</strong></p><p>実際の計算では、以下の簡略化された基準を使用：</p><div class='formula'>$V = \sum_{j=1}^{m} \left[ \sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^4 - \frac{1}{p}\left(\sum_{i=1}^{p} (\lambda_{ij}^*)^2\right)^2 \right]
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: 回転アルゴリズム</strong></p><p>最も一般的なアルゴリズムは**カイザー法**：</p><ol><li><strong>初期設定</strong>：$\mathbf{T} = \mathbf{I}$（単位行列）</li><li><strong>反復計算</strong>：各因子ペアについて2次元回転を実行</li><li><strong>収束判定</strong>：回転角度が閾値以下になるまで反復</li><li><strong>最終化</strong>：収束した回転行列を適用</li></ol><p class='step'><strong>Step 5: 2次元回転の詳細</strong></p><p>因子$j$と$k$の2次元回転角$\theta$は以下で決定：</p><div class='formula'>$\tan(4\theta) = \frac{2(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2 \lambda_{ik}^2 - \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2 \sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^2)}{\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^4 - \sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^4 - \frac{1}{p}(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ij}^2)^2 + \frac{1}{p}(\sum_{i=1}^{p} \lambda_{ik}^2)^2}
lt;/div><div class='key-point'><h4>直交回転と斜交回転の比較</h4><table class='table table-bordered'><tr><th>回転手法</th><th>因子間相関</th><th>特徴</th><th>適用場面</th></tr><tr><td><strong>直交回転</strong></td><td>0（独立）</td><td>解釈が簡単</td><td>因子が独立と仮定</td></tr><tr><td><strong>斜交回転</strong></td><td>非零（相関あり）</td><td>現実的</td><td>因子間に相関が予想</td></tr></table></div><p class='step'><strong>Step 6: 主要な回転手法の比較</strong></p><div class='key-point'><table class='table table-bordered'><tr><th>回転手法</th><th>種類</th><th>最適化基準</th><th>特徴</th></tr><tr><td><strong>バリマックス</strong></td><td>直交</td><td>負荷量分散最大化</td><td>単純構造、解釈容易</td></tr><tr><td><strong>クォーティマックス</strong></td><td>直交</td><td>変数の複雑さ最小化</td><td>一般因子を強調</td></tr><tr><td><strong>エクイマックス</strong></td><td>直交</td><td>バリマックスとクォーティマックスの中間</td><td>バランス型</td></tr><tr><td><strong>プロマックス</strong></td><td>斜交</td><td>バリマックス→斜交変換</td><td>高速計算</td></tr><tr><td><strong>オブリミン</strong></td><td>斜交</td><td>単純性最大化</td><td>柔軟性高</td></tr></table></div><p class='step'><strong>Step 7: 回転の不変性</strong></p><p>因子回転は以下の統計量を保持します：</p><ul><li><strong>共通性</strong>：$h_i^2 = \sum_{j=1}^{m} (\lambda_{ij}^*)^2
lt;/li><li><strong>全分散</strong>：$\sum_{i=1}^{p} h_i^2
lt;/li><li><strong>適合度</strong>：$\chi^2$統計量や各種適合指標</li></ul>