<h4>IPW推定量：逆確率重み付けによる因果推論</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>IPW推定量の基本概念</div><p>IPW（Inverse Probability Weighting）推定量は、観察研究において選択バイアスを調整し、因果効果を推定する手法です。各個体の処置確率の逆数を重みとして使用することで、処置割り当ての不均衡を補正します。</p></div><h4>IPW推定量の理論的基盤</h4><p class='step'><strong>Step 1: 因果推論の基本設定</strong></p><p><strong>ポテンシャル結果フレームワーク：</strong></p><ul><li>$Y_i(1)$：個体$i$が処置を受けた場合の結果</li><li>$Y_i(0)$：個体$i$が処置を受けなかった場合の結果</li><li>$T_i$：処置指示変数（1=処置、0=対照）</li><li>$X_i$：共変量ベクトル</li></ul><p><strong>観察される結果：</strong></p><div class='formula'>$Y_i = T_i \cdot Y_i(1) + (1-T_i) \cdot Y_i(0)
lt;/div><p><strong>平均処置効果（ATE）：</strong></p><div class='formula'>$\tau = E[Y_i(1) - Y_i(0)]
lt;/div><p class='step'><strong>Step 2: 処置確率（傾向スコア）の定義</strong></p><p>処置確率（傾向スコア）は：</p><div class='formula'>$e_i = P(T_i = 1 | X_i)
lt;/div><p><strong>重要な仮定：</strong></p><ul><li><strong>条件付き独立性</strong>：$Y_i(1), Y_i(0) \perp T_i | X_i
lt;/li><li><strong>共通サポート</strong>：$0 < e_i < 1
lt;/li><li><strong>SUTVA</strong>：安定な単位処置価値仮定</li></ul><p class='step'><strong>Step 3: IPW推定量の定義</strong></p><p>IPW推定量は以下で定義されます：</p><div class='formula'>$\hat{\tau}_{IPW} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{T_i Y_i}{e_i} - \frac{(1-T_i) Y_i}{1-e_i} \right]
lt;/div><p>または、より実用的な形式：</p><div class='formula'>$\hat{\tau}_{IPW} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{T_i Y_i}{e_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{T_i}{e_i}} - \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{(1-T_i) Y_i}{1-e_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{(1-T_i)}{1-e_i}}
lt;/div><div class='key-point'><h4>IPW推定量の直感的解釈</h4><p>IPW推定量は、処置確率の逆数を重みとして使用することで、処置を受ける確率が低い個体に大きな重みを与えます。これにより、処置割り当ての不均衡を補正し、疑似ランダム化実験の効果を再現します。</p></div><p class='step'><strong>Step 4: 与えられたデータの整理</strong></p><p><strong>処置群データ：</strong></p><ul><li>サンプルサイズ：$n_1 = 60
lt;/li><li>平均結果：$\bar{Y}_1 = 72
lt;/li><li>平均処置確率：$\bar{e}_1 = 0.75
lt;/li></ul><p><strong>対照群データ：</strong></p><ul><li>サンプルサイズ：$n_0 = 40
lt;/li><li>平均結果：$\bar{Y}_0 = 68
lt;/li><li>平均処置確率：$\bar{e}_0 = 0.25
lt;/li></ul><p class='step'><strong>Step 5: IPW推定量の計算</strong></p><p><strong>処置群の重み付き平均：</strong></p><p>処置群では$T_i = 1$なので、重みは$\frac{1}{e_i}
lt;/p><div class='formula'>$\hat{\mu}_1 = \frac{\sum_{i \in \text{処置群}} \frac{Y_i}{e_i}}{\sum_{i \in \text{処置群}} \frac{1}{e_i}}
lt;/div><p>平均処置確率を使用した近似：</p><div class='formula'>$\hat{\mu}_1 \approx \frac{\bar{Y}_1}{\bar{e}_1} \cdot \frac{\bar{e}_1}{1} = \frac{72}{0.75} = 96
lt;/div><p><strong>対照群の重み付き平均：</strong></p><p>対照群では$T_i = 0$なので、重みは$\frac{1}{1-e_i}
lt;/p><div class='formula'>$\hat{\mu}_0 = \frac{\sum_{i \in \text{対照群}} \frac{Y_i}{1-e_i}}{\sum_{i \in \text{対照群}} \frac{1}{1-e_i}}
lt;/div><p>平均処置確率を使用した近似：</p><div class='formula'>$\hat{\mu}_0 \approx \frac{\bar{Y}_0}{1-\bar{e}_0} \cdot \frac{1-\bar{e}_0}{1} = \frac{68}{1-0.25} = \frac{68}{0.75} = 90.67
lt;/div><p class='step'><strong>Step 6: 処置効果の推定</strong></p><p>IPW推定量による処置効果：</p><div class='formula'>$\hat{\tau}_{IPW} = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_0 = 96 - 90.67 = 5.33
lt;/div>