IPW推定量：逆確率重み付けによる因果推論
IPW推定量の基本概念
IPW（Inverse Probability Weighting）推定量は、観察研究において選択バイアスを調整し、因果効果を推定する手法です。各個体の処置確率の逆数を重みとして使用することで、処置割り当ての不均衡を補正します。
IPW推定量の理論的基盤
Step 1: 因果推論の基本設定
ポテンシャル結果フレームワーク：
- $Y_i(1)$：個体$i$が処置を受けた場合の結果
- $Y_i(0)$：個体$i$が処置を受けなかった場合の結果
- $T_i$：処置指示変数（1=処置、0=対照）
- $X_i$：共変量ベクトル
観察される結果：
$Y_i = T_i \cdot Y_i(1) + (1-T_i) \cdot Y_i(0)$
平均処置効果（ATE）：
$\tau = E[Y_i(1) - Y_i(0)]$
Step 2: 処置確率（傾向スコア）の定義
処置確率（傾向スコア）は：
$e_i = P(T_i = 1 | X_i)$
重要な仮定：
- 条件付き独立性：$Y_i(1), Y_i(0) \perp T_i | X_i$
- 共通サポート：$0 < e_i < 1$
- SUTVA：安定な単位処置価値仮定
Step 3: IPW推定量の定義
IPW推定量は以下で定義されます：
$\hat{\tau}_{IPW} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{T_i Y_i}{e_i} - \frac{(1-T_i) Y_i}{1-e_i} \right]$
または、より実用的な形式：
$\hat{\tau}_{IPW} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{T_i Y_i}{e_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{T_i}{e_i}} - \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{(1-T_i) Y_i}{1-e_i}}{\sum_{i=1}^{n} \frac{(1-T_i)}{1-e_i}}$
IPW推定量の直感的解釈
IPW推定量は、処置確率の逆数を重みとして使用することで、処置を受ける確率が低い個体に大きな重みを与えます。これにより、処置割り当ての不均衡を補正し、疑似ランダム化実験の効果を再現します。
Step 4: 与えられたデータの整理
処置群データ：
- サンプルサイズ：$n_1 = 60$
- 平均結果：$\bar{Y}_1 = 72$
- 平均処置確率：$\bar{e}_1 = 0.75$
対照群データ：
- サンプルサイズ：$n_0 = 40$
- 平均結果：$\bar{Y}_0 = 68$
- 平均処置確率：$\bar{e}_0 = 0.25$
Step 5: IPW推定量の計算
処置群の重み付き平均：
処置群では$T_i = 1$なので、重みは$\frac{1}{e_i}$
$\hat{\mu}_1 = \frac{\sum_{i \in \text{処置群}} \frac{Y_i}{e_i}}{\sum_{i \in \text{処置群}} \frac{1}{e_i}}$
平均処置確率を使用した近似：
$\hat{\mu}_1 \approx \frac{\bar{Y}_1}{\bar{e}_1} \cdot \frac{\bar{e}_1}{1} = \frac{72}{0.75} = 96$
対照群の重み付き平均：
対照群では$T_i = 0$なので、重みは$\frac{1}{1-e_i}$
$\hat{\mu}_0 = \frac{\sum_{i \in \text{対照群}} \frac{Y_i}{1-e_i}}{\sum_{i \in \text{対照群}} \frac{1}{1-e_i}}$
平均処置確率を使用した近似：
$\hat{\mu}_0 \approx \frac{\bar{Y}_0}{1-\bar{e}_0} \cdot \frac{1-\bar{e}_0}{1} = \frac{68}{1-0.25} = \frac{68}{0.75} = 90.67$
Step 6: 処置効果の推定
IPW推定量による処置効果：
$\hat{\tau}_{IPW} = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_0 = 96 - 90.67 = 5.33$