この問題では、指数分布のモーメント母関数の導出と応用について理解を深めます。モーメント母関数は確率分布の性質を包括的に特徴づける重要な関数で、期待値や分散などのモーメントを効率的に計算する手法です。
モーメント母関数：分布の完全な特徴化
モーメント母関数（Moment Generating Function, MGF）は、確率分布のすべての情報を含む母関数で、分布の一意性定理により分布を完全に決定します。
Step 1: 指数分布の確率密度関数
母数$\\lambda = 2$の指数分布の確率密度関数：
$$f(x) = \\lambda e^{-\\lambda x} = 2e^{-2x}, \\quad x \\geq 0$$
指数分布の基本性質
- 定義域：$x \\geq 0$（非負実数）
- 母数：$\\lambda > 0$（レート母数）
- 無記憶性：$P(X > s+t | X > s) = P(X > t)$
- 単調減少：確率密度関数は$x = 0$で最大
Step 2: モーメント母関数の定義と計算
モーメント母関数の定義：
$$M_X(t) = E[e^{tX}] = \\int_0^{\\infty} e^{tx} f(x) dx$$
指数分布に対して具体的に計算：
$$M_X(t) = \\int_0^{\\infty} e^{tx} \\cdot 2e^{-2x} dx = 2 \\int_0^{\\infty} e^{(t-2)x} dx$$
Step 3: 積分の計算
指数関数の積分を実行します（$t < 2$の条件下で）：
$$M_X(t) = 2 \\int_0^{\\infty} e^{(t-2)x} dx = 2 \\left[ \\frac{e^{(t-2)x}}{t-2} \\right]_0^{\\infty}$$
収束条件の確認：
- $t < 2$のとき：$t - 2 < 0$なので$\\lim_{x \to \\infty} e^{(t-2)x} = 0$
- $t \\geq 2$のとき：積分は発散
したがって、$t < 2$において：
$$M_X(t) = 2 \\left[ \\frac{0 - 1}{t-2} \\right] = 2 \\cdot \\frac{-1}{t-2} = \\frac{-2}{t-2} = \\frac{2}{2-t}$$
指数分布のモーメント母関数
$$M_X(t) = \\frac{\\lambda}{\\lambda - t} = \\frac{2}{2-t}, \\quad t < 2$$
Step 4: モーメント母関数からの期待値の導出
期待値は$M_X'(0)$で求められます：
$$M_X'(t) = \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{2}{2-t}\\right) = 2 \\cdot \\frac{d}{dt}(2-t)^{-1} = 2 \\cdot (-1)(2-t)^{-2} \\cdot (-1) = \\frac{2}{(2-t)^2}$$
$t = 0$を代入：
$$E[X] = M_X'(0) = \\frac{2}{(2-0)^2} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$
Step 5: 2次モーメントの計算
2次モーメントは$M_X''(0)$で求められます：
$$M_X''(t) = \\frac{d}{dt}\\left(\\frac{2}{(2-t)^2}\\right) = 2 \\cdot \\frac{d}{dt}(2-t)^{-2}$$
$$= 2 \\cdot (-2)(2-t)^{-3} \\cdot (-1) = \\frac{4}{(2-t)^3}$$
$t = 0$を代入：
$$E[X^2] = M_X''(0) = \\frac{4}{(2-0)^3} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$$
Step 6: 分散の計算
分散の公式：$\\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
$$\\text{Var}(X) = \\frac{1}{2} - \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{4} = \\frac{2-1}{4} = \\frac{1}{4}$$
計算結果
- モーメント母関数：$M_X(t) = \\frac{2}{2-t}$
- 期待値：$E[X] = \\frac{1}{2}$
- 分散：$\\text{Var}(X) = \\frac{1}{4}$
指数分布の理論的背景
Step 7: 一般形での公式確認
一般の指数分布$\\text{Exp}(\\lambda)$に対する結果：
| 項目 | 一般形 | $\\lambda = 2$の場合 |
| モーメント母関数 | $\\frac{\\lambda}{\\lambda - t}$ | $\\frac{2}{2-t}$ |
| 期待値 | $\\frac{1}{\\lambda}$ | $\\frac{1}{2}$ |
| 分散 | $\\frac{1}{\\lambda^2}$ | $\\frac{1}{4}$ |
| 標準偏差 | $\\frac{1}{\\lambda}$ | $\\frac{1}{2}$ |
Step 8: モーメント母関数の応用
分布の同定：
モーメント母関数が同じ範囲で存在し一致すれば、分布は同じです（一意性定理）。
独立な確率変数の和：
$X_1, X_2$が独立で同じ$\\text{Exp}(\\lambda)$に従うとき：
$$M_{X_1 + X_2}(t) = M_{X_1}(t) \\cdot M_{X_2}(t) = \\left(\\frac{\\lambda}{\\lambda - t}\\right)^2$$
ガンマ分布との関係：
$n$個の独立な$\\text{Exp}(\\lambda)$の和は$\\text{Gamma}(n, \\lambda)$に従います。
Step 9: 無記憶性の証明
指数分布の特徴的性質である無記憶性をモーメント母関数から確認：
$$P(X > s + t | X > s) = \\frac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \\frac{e^{-\\lambda(s+t)}}{e^{-\\lambda s}} = e^{-\\lambda t} = P(X > t)$$
応用
Step 10: 指数分布の実用例
待ち時間モデル：
- 電話の着信間隔：平均$\\frac{1}{\\lambda}$分間隔
- 機械の故障時間：平均寿命$\\frac{1}{\\lambda}$
- 放射性物質の崩壊：崩壊までの時間
ポアソン過程との関係：
レート$\\lambda$のポアソン過程において、事象間の間隔が$\\text{Exp}(\\lambda)$に従います。
Step 11: 最尤推定
母数の推定：
観測データ$x_1, \\ldots, x_n$から$\\lambda$の最尤推定量：
$$\\hat{\\lambda}_{MLE} = \\frac{n}{\\sum_{i=1}^n x_i} = \\frac{1}{\\bar{x}}$$
推定量の性質：
- 不偏性：$E[\\hat{\\lambda}_{MLE}] = \\lambda$
- 一致性：$\\hat{\\lambda}_{MLE} \\xrightarrow{p} \\lambda$
- 漸近正規性：$\\sqrt{n}(\\hat{\\lambda}_{MLE} - \\lambda) \\xrightarrow{d} N(0, \\lambda^2)$
Step 12: 信頼性工学への応用
故障率関数：
指数分布のハザード関数（瞬間故障率）：
$$h(t) = \\frac{f(t)}{1-F(t)} = \\frac{\\lambda e^{-\\lambda t}}{e^{-\\lambda t}} = \\lambda$$
これは定数故障率を意味し、「ランダム故障期」をモデル化します。
MTBF（平均故障間隔）：
$$\\text{MTBF} = E[X] = \\frac{1}{\\lambda}$$
洞察：
指数分布のモーメント母関数$\\frac{\\lambda}{\\lambda - t}$は、分布の本質的性質を完全に包含しています。無記憶性という独特な性質は、この関数の形状に反映され、連続時間マルコフ過程、生存分析、待ち行列理論など幅広い分野で役割を果たします。計算された分散$\\frac{1}{4}$は、期待値の二乗に等しく、指数分布の変動の大きさを表す基本的な特性値です。