この問題では、ポアソン分布の正規近似と連続性修正について理解を深めます。ポアソン分布の正規近似は、離散分布を連続分布で近似する重要な手法で、実用的な計算において基礎的な役割を果たします。
ポアソン分布の正規近似：離散から連続への橋渡し
ポアソン分布の正規近似は、中心極限定理の応用として、大きな母数λを持つポアソン分布を正規分布で近似する手法です。この近似により、複雑な確率計算が大幅に簡化されます。
Step 1: ポアソン分布の基本設定
与えられた条件：
- 母数：$\lambda = 36$
- 分布：$X \sim \text{Poisson}(36)$
- 求める確率：$P(30 \leq X \leq 42)$
ポアソン分布の基本性質
$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$のとき：
- 期待値：$E[X] = \lambda$
- 分散：$\text{Var}(X) = \lambda$
- 標準偏差：$\sigma = \sqrt{\lambda}$
- 確率質量関数：$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
Step 2: 正規近似の条件と理論的根拠
近似の妥当性：
$\lambda = 36$は十分大きいため（一般に$\lambda \geq 30$が目安）、正規近似が適用可能です。
近似分布：
$X \sim \text{Poisson}(36) \approx N(36, 36)$
すなわち：
- 平均：$\mu = 36$
- 分散：$\sigma^2 = 36$
- 標準偏差：$\sigma = \sqrt{36} = 6$
Step 3: 連続性修正の適用
離散分布を連続分布で近似する際は、連続性修正が重要です：
連続性修正の原理
離散確率変数$X$に対して：
- $P(X = k)$ → $P(k - 0.5 < Y < k + 0.5)$
- $P(X \leq k)$ → $P(Y \leq k + 0.5)$
- $P(X \geq k)$ → $P(Y \geq k - 0.5)$
- $P(a \leq X \leq b)$ → $P(a - 0.5 \leq Y \leq b + 0.5)$
本問題への適用：
$P(30 \leq X \leq 42) \approx P(29.5 \leq Y \leq 42.5)$
ここで$Y \sim N(36, 36)$は近似正規分布です。
Step 4: 標準化変換
標準正規分布への変換：
$Z = \frac{Y - 36}{6}$
区間の変換：
- 下限：$z_1 = \frac{29.5 - 36}{6} = \frac{-6.5}{6} = -1.083$
- 上限：$z_2 = \frac{42.5 - 36}{6} = \frac{6.5}{6} = 1.083$
Step 5: 確率の計算
求める確率(標準正規分布表（Z-表）または電卓を用いて P(Z≤1.08) の値を見つけます)：
$P(29.5 \leq X \leq 42.5) \approx P(-1.083 \leq Z \leq 1.083)$
標準正規分布の対称性を利用：
$P(-1.083 \leq Z \leq 1.083) = 2 \times P(0 \leq Z \leq 1.083)-1=2\times 0.8606-1=0.7216$