ポアソン分布の正規近似 - 問題演習問題17

ポアソン分布の正規近似レベル1

ある工場の機械が1日平均36回故障するとする。この故障回数はポアソン分布$\text{Poisson}(36)$に従う。1日の故障回数が30回以上42回以下となる確率を正規近似（連続性の修正を含む）を用いて求めよ。小数第4位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では、ポアソン分布の正規近似と連続性修正について理解を深めます。ポアソン分布の正規近似は、離散分布を連続分布で近似する重要な手法で、実用的な計算において基礎的な役割を果たします。 <h4>ポアソン分布の正規近似：離散から連続への橋渡し</h4> ポアソン分布の正規近似は、中心極限定理の応用として、大きな母数λを持つポアソン分布を正規分布で近似する手法です。この近似により、複雑な確率計算が大幅に簡化されます。 Step 1: ポアソン分布の基本設定 与えられた条件： <ul> <li>母数：$\lambda = 36

lt;/li> <li>分布：$X \sim \text{Poisson}(36)

lt;/li> <li>求める確率：$P(30 \leq X \leq 42)

lt;/li> </ul> <div class='key-point'> <div class='key-point-title'>ポアソン分布の基本性質</div> $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$のとき： <ul> <li>期待値：$E[X] = \lambda

lt;/li> <li>分散：$\text{Var}(X) = \lambda

lt;/li> <li>標準偏差：$\sigma = \sqrt{\lambda}

lt;/li> <li>確率質量関数：$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

lt;/li> </ul> </div> Step 2: 正規近似の条件と理論的根拠 近似の妥当性： $\lambda = 36$は十分大きいため（一般に$\lambda \geq 30$が目安）、正規近似が適用可能です。 近似分布： <div class='formula'>$X \sim \text{Poisson}(36) \approx N(36, 36)$

すなわち：

平均：$\mu = 36$
分散：$\sigma^2 = 36$
標準偏差：$\sigma = \sqrt{36} = 6$

Step 3: 連続性修正の適用

離散分布を連続分布で近似する際は、連続性修正が重要です：

連続性修正の原理

離散確率変数$X$に対して：

$P(X = k)$ → $P(k - 0.5 < Y < k + 0.5)$
$P(X \leq k)$ → $P(Y \leq k + 0.5)$
$P(X \geq k)$ → $P(Y \geq k - 0.5)$
$P(a \leq X \leq b)$ → $P(a - 0.5 \leq Y \leq b + 0.5)$

本問題への適用：

$P(30 \leq X \leq 42) \approx P(29.5 \leq Y \leq 42.5)$

ここで$Y \sim N(36, 36)$は近似正規分布です。

Step 4: 標準化変換

標準正規分布への変換：

$Z = \frac{Y - 36}{6}$

区間の変換：

下限：$z_1 = \frac{29.5 - 36}{6} = \frac{-6.5}{6} = -1.083$
上限：$z_2 = \frac{42.5 - 36}{6} = \frac{6.5}{6} = 1.083$

Step 5: 確率の計算

求める確率(標準正規分布表（Z-表）または電卓を用いて P(Z≤1.08) の値を見つけます)：

$P(29.5 \leq X \leq 42.5) \approx P(-1.083 \leq Z \leq 1.083)$

標準正規分布の対称性を利用：

$P(-1.083 \leq Z \leq 1.083) = 2 \times P(0 \leq Z \leq 1.083)-1=2\times 0.8606-1=0.7216$</div>

確率と確率分布