事象と確率、確率分布の特性値、変数変換、大数の法則、中心極限定理など統計検定準1級レベルの確率論を学習します。
コインを投げて表が出る確率を$p=0.6$ とする。最初に1回コインを投げ、その結果によって試行回数 $N$ を定める。\nもし表が出たら、$N=1$ とする。\nもし裏が出たら、$N=0$ とする。\n次に、$N$ 回コインを投げたときに、その $N$ 回の試行のうち最初の1回目が表である確率を確率変数 $X$ とする。$E[X]$ を小数第3位まで求めよ。
この問題では、繰り返し期待値の法則（全期待値の法則）について理解を深めます。繰り返し期待値の法則は確率論の基本的な定理で、条件付き期待値を通じて複雑な確率構造を単純化し、統計的推論や確率モデルの解析において極めて重要な役割を果たします。
繰り返し期待値の法則（Law of Total Expectation, Tower Law）は、確率変数の期待値を条件付き期待値の期待値として表現する基本原理で、複雑な確率モデルを階層的に分解して解析する数学的枠組みです。
確率変数$X$と$Y$について、$Y$の期待値が存在するとき：
これは以下のように解釈できます：
与えられた条件：
問題の構造理解：
この問題は二段階の確率的現象として理解できます：
$N = n$が与えられたときの$X$の条件付き期待値を考えます。
$N = 0$の場合：
コインを投げないので、$X = 0$（1回目が表である確率は0）
$N \\geq 1$の場合：
$N = n \\geq 1$のとき、$n$回コインを投げる。1回目が表である確率は$p = 0.6$
繰り返し期待値の法則により：
条件付き期待値を代入：
実は、この問題にはより直感的な解釈があります：
重要な観察：
$N \\geq 1$である限り、1回目のコイン投げの結果は、そのコインの表が出る確率$p = 0.6$と等しくなります。$N = 0$の場合のみ、1回目が表である確率は0になります。
しかし、問題文の解釈をより注意深く行うと：
これらを総合すると、問題は以下のように理解できます：
より厳密には、以下の論理で説明できます：
確率の対称性：
各コイン投げは独立で同一の確率$p = 0.6$を持つため、どの位置のコインが表になる確率も等しく$p$です。
位置の交換可能性：
1回目、2回目、...、$N$回目のどの位置でも表が出る確率は$p$で変わりません。
したがって：
事前分布と事後分布：
繰り返し期待値の法則は、ベイズ推論における事前期待値の計算で中心的役割を果たします：
状態遷移の期待値：
マルコフ連鎖において、将来状態の期待値を現在状態で条件付けして計算：
ポートフォリオ期待収益：
市場状態で条件付けした期待収益の計算：
ランダムフォレストの予測：
個別決定木の予測を集約：
| 応用分野 | 具体例 | 数学的表現 |
|---|---|---|
| 保険数理 | 保険金支払期待値 | $E[\\text{支払}] = E[E[\\text{支払}|\\text{事故}]]$ |
| 待ち行列理論 | 平均待ち時間 | $E[W] = E[E[W|\\text{到着数}]]$ |
| 品質管理 | 期待不良率 | $E[\\text{不良}] = E[E[\\text{不良}|\\text{製造条件}]]$ |
分散についても同様の分解公式が成立：
これは「全分散の法則」として知られています。
$k$次モーメントに対しても一般化可能：
確率過程においても同様の原理が適用：
ここで$\\mathcal{F}_s$は時点$s$までの情報集合（フィルトレーション）。