ロジスティック回帰におけるオッズ比の計算
ロジスティック回帰では、説明変数の変化がオッズ比として解釈されます。オッズ比は、説明変数の変化に対する成功の相対的な可能性を表す指標です。
ロジスティック回帰の基本構造
ロジスティック回帰モデル：
$$\\log\\left(\\frac{p}{1-p}\\right) = \\beta_0 + \\beta_1 x$$
ここで：
- $p$：成功確率
- $\\frac{p}{1-p}$：オッズ（成功対失敗の比）
- $\\log\\left(\\frac{p}{1-p}\\right)$：ロジット（対数オッズ）
Step 1: オッズの定義と性質
オッズの定義：
$$\\text{Odds} = \\frac{p}{1-p}$$
ロジスティック回帰モデルより：
$$\\frac{p}{1-p} = \\exp(\\beta_0 + \\beta_1 x)$$
このモデルから：
$$p = \\frac{\\exp(\\beta_0 + \\beta_1 x)}{1 + \\exp(\\beta_0 + \\beta_1 x)}$$
Step 2: x = 0のときのオッズ計算
与えられたモデル：$\\log\\left(\\frac{p}{1-p}\\right) = -2.0 + 1.5x$
$x = 0$ のとき：
$$\\log\\left(\\frac{p_0}{1-p_0}\\right) = -2.0 + 1.5 \\times 0 = -2.0$$
したがって：
$$\\frac{p_0}{1-p_0} = \\exp(-2.0) = e^{-2} \\approx 0.1353$$
Step 3: x = 2のときのオッズ計算
$x = 2$ のとき：
$$\\log\\left(\\frac{p_2}{1-p_2}\\right) = -2.0 + 1.5 \\times 2 = -2.0 + 3.0 = 1.0$$
したがって：
$$\\frac{p_2}{1-p_2} = \\exp(1.0) = e^1 \\approx 2.718$$
Step 4: オッズ比の計算
オッズ比（Odds Ratio）の定義：
$$\\text{OR} = \\frac{\\text{Odds at } x = 2}{\\text{Odds at } x = 0} = \\frac{\\frac{p_2}{1-p_2}}{\\frac{p_0}{1-p_0}}$$
$$\\text{OR} = \\frac{\\exp(1.0)}{\\exp(-2.0)} = \\frac{e^1}{e^{-2}} = e^{1-(-2)} = e^3$$
$$\\text{OR} = e^3 \\approx 20.086$$
小数第2位まで：20.09
オッズ比の一般公式
説明変数が $x_1$ から $x_2$ に変化したときのオッズ比：
$$\\text{OR} = \\exp[\\beta_1(x_2 - x_1)]$$
本問題では：
$$\\text{OR} = \\exp[1.5 \\times (2 - 0)] = \\exp(3) = e^3 \\approx 20.09$$
Step 5: 回帰係数による直接計算
回帰係数 $\\beta_1 = 1.5$ の解釈：
- 説明変数が1単位増加すると、対数オッズが1.5増加
- オッズは $\\exp(1.5) \\approx 4.48$ 倍になる
- 2単位増加では $\\exp(1.5 \\times 2) = \\exp(3) \\approx 20.09$ 倍
Step 6: 確率での確認
念のため確率でも確認：
$x = 0$ のとき：
$$p_0 = \\frac{e^{-2}}{1 + e^{-2}} = \\frac{0.1353}{1.1353} \\approx 0.119$$
$x = 2$ のとき：
$$p_2 = \\frac{e^1}{1 + e^1} = \\frac{2.718}{3.718} \\approx 0.731$$
オッズ比の再計算：
$$\\text{OR} = \\frac{0.731/(1-0.731)}{0.119/(1-0.119)} = \\frac{0.731/0.269}{0.119/0.881} = \\frac{2.718}{0.135} \\approx 20.13$$
オッズ比の解釈
- OR = 1：説明変数の変化による影響なし
- OR > 1：説明変数の増加で成功確率が増加
- OR < 1：説明変数の増加で成功確率が減少
- OR = 20.09：x が0から2に増加すると、成功のオッズが約20倍になる
Step 7: 統計的解釈
本問題の結果 OR = 20.09 は：
- 説明変数 $x$ が0から2に増加すると
- 成功のオッズが約20倍に増加することを意味
- これは非常に強い正の関連を示している
- 回帰係数 $\\beta_1 = 1.5$ が比較的大きいことに対応
Step 8: 信頼区間への拡張
実際の分析では、オッズ比の信頼区間も重要：
$$\\exp\\left[\\hat{\\beta}_1 \\pm z_{\\alpha/2} \\cdot SE(\\hat{\\beta}_1)\\right]$$
ここで $SE(\\hat{\\beta}_1)$ は回帰係数の標準誤差です。