この問題では、ポアソン分布の上側確率計算と累積分布の理論について理解を深めます。ポアソン分布は離散確率分布の中でも特に重要で、まれな事象の発生回数をモデル化する基本的なツールとして、品質管理、ネットワーク理論、疫学など幅広い分野で活用されています。
ポアソン分布の累積確率：まれ事象の確率論
ポアソン分布の上側確率（tail probability）は「期待値を大きく上回る事象の発生確率」を表し、リスク管理や異常検知において重要な役割を果たします。大偏差理論との関連も深い興味深いテーマです。
Step 1: ポアソン過程の基本設定
与えられた条件：
- 強度：$\lambda = 1.5$（単位時間あたり平均1.5回の事象発生）
- 観測時間：$[0, 4]$（4時間の観測期間）
- 求める確率：$P(N(4) \geq 6)$（6回以上の事象発生確率）
ポアソン分布のパラメータ：
$\mu = \lambda \times t = 1.5 \times 4 = 6$
したがって、$N(4) \sim \text{Poisson}(6)$です。
ポアソン分布の基本統計量
| 統計量 | 公式 | 今回の値 |
|---|
| 期待値 | $E[X] = \mu$ | $6$ |
| 分散 | $\text{Var}[X] = \mu$ | $6$ |
| 標準偏差 | $\sqrt{\mu}$ | $\sqrt{6} \approx 2.45$ |
| 最頻値 | $\lfloor \mu \rfloor$ または $\lfloor \mu \rfloor + 1$ | $5$ または $6$ |
Step 2: 補事象による確率計算
直接計算は複雑なので、補事象を利用します：
$P(N(4) \geq 6) = 1 - P(N(4) \leq 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5} P(N(4) = k)$
ポアソン確率質量関数：
$P(N(4) = k) = \frac{6^k e^{-6}}{k!}$
Step 3: 各項の詳細計算
共通因子：
$e^{-6} \approx 0.00248$
各確率の計算：
\begin{align}P(N(4) = 0) &= \frac{6^0 e^{-6}}{0!} = e^{-6} \approx 0.00248 \\P(N(4) = 1) &= \frac{6^1 e^{-6}}{1!} = 6e^{-6} \approx 0.01488 \\P(N(4) = 2) &= \frac{6^2 e^{-6}}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6} \approx 0.04462 \\P(N(4) = 3) &= \frac{6^3 e^{-6}}{3!} = \frac{216e^{-6}}{6} = 36e^{-6} \approx 0.08924 \\P(N(4) = 4) &= \frac{6^4 e^{-6}}{4!} = \frac{1296e^{-6}}{24} = 54e^{-6} \approx 0.13385 \\P(N(4) = 5) &= \frac{6^5 e^{-6}}{5!} = \frac{7776e^{-6}}{120} = 64.8e^{-6} \approx 0.16062\end{align}
Step 4: 累積確率の計算
$P(N(4) \leq 5)$の計算：
\begin{align}P(N(4) \leq 5) &= 0.00248 + 0.01488 + 0.04462 + 0.08924 + 0.13385 + 0.16062 \\&\approx 0.44569\end{align}
$P(N(4) \leq 5) \approx 0.8488$
Step 5: 答えの導出
$P(N(4) \geq 6) = 1 - P(N(4) \leq 5) = 1 - 0.44569 = 0.55431 \approx 0.554$
ポアソン分布の重要な性質
- 極限定理：二項分布$B(n,p)$で$n \to \infty, p \to 0, np \to \lambda$のとき$\text{Poisson}(\lambda)$に収束
- 加法性：独立な$\text{Poisson}(\lambda_1), \text{Poisson}(\lambda_2)$の和は$\text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$
- 正規近似：$\lambda$が大きいとき$N(\lambda, \lambda)$で近似可能
- 指数分布との関係：到着間隔は$\text{Exp}(\lambda)$に従う