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<p>この問題では、<strong>ポアソン分布の上側確率計算と累積分布の理論</strong>について理解を深めます。ポアソン分布は離散確率分布の中でも特に重要で、まれな事象の発生回数をモデル化する基本的なツールとして、品質管理、ネットワーク理論、疫学など幅広い分野で活用されています。</p><h4>ポアソン分布の累積確率：まれ事象の確率論</h4><p>ポアソン分布の上側確率（tail probability）は「期待値を大きく上回る事象の発生確率」を表し、リスク管理や異常検知において重要な役割を果たします。大偏差理論との関連も深い興味深いテーマです。</p><p class='step'><strong>Step 1: ポアソン過程の基本設定</strong></p><p><strong>与えられた条件：</strong></p><ul><li><strong>強度</strong>：$\lambda = 1.5$（単位時間あたり平均1.5回の事象発生）</li><li><strong>観測時間</strong>：$[0, 4]$（4時間の観測期間）</li><li><strong>求める確率</strong>：$P(N(4) \geq 6)$（6回以上の事象発生確率）</li></ul><p><strong>ポアソン分布のパラメータ：</strong></p><div class='formula'>$\mu = \lambda \times t = 1.5 \times 4 = 6$
したがって、$N(4) \sim \text{Poisson}(6)$です。
ポアソン分布の基本統計量
| 統計量 | 公式 | 今回の値 |
|---|
| 期待値 | $E[X] = \mu$ | $6$ |
| 分散 | $\text{Var}[X] = \mu$ | $6$ |
| 標準偏差 | $\sqrt{\mu}$ | $\sqrt{6} \approx 2.45$ |
| 最頻値 | $\lfloor \mu \rfloor$ または $\lfloor \mu \rfloor + 1$ | $5$ または $6$ |
Step 2: 補事象による確率計算
直接計算は複雑なので、補事象を利用します：
$P(N(4) \geq 6) = 1 - P(N(4) \leq 5) = 1 - \sum_{k=0}^{5} P(N(4) = k)$
ポアソン確率質量関数：
$P(N(4) = k) = \frac{6^k e^{-6}}{k!}$
Step 3: 各項の詳細計算
共通因子：
$e^{-6} \approx 0.00248$
各確率の計算：
\begin{align}P(N(4) = 0) &= \frac{6^0 e^{-6}}{0!} = e^{-6} \approx 0.00248 \\P(N(4) = 1) &= \frac{6^1 e^{-6}}{1!} = 6e^{-6} \approx 0.01488 \\P(N(4) = 2) &= \frac{6^2 e^{-6}}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6} \approx 0.04462 \\P(N(4) = 3) &= \frac{6^3 e^{-6}}{3!} = \frac{216e^{-6}}{6} = 36e^{-6} \approx 0.08924 \\P(N(4) = 4) &= \frac{6^4 e^{-6}}{4!} = \frac{1296e^{-6}}{24} = 54e^{-6} \approx 0.13385 \\P(N(4) = 5) &= \frac{6^5 e^{-6}}{5!} = \frac{7776e^{-6}}{120} = 64.8e^{-6} \approx 0.16062\end{align}
Step 4: 累積確率の計算
$P(N(4) \leq 5)$の計算：
\begin{align}P(N(4) \leq 5) &= 0.00248 + 0.01488 + 0.04462 + 0.08924 + 0.13385 + 0.16062 \\&\approx 0.44569\end{align}
$P(N(4) \leq 5) \approx 0.8488$
Step 5: 答えの導出
$P(N(4) \geq 6) = 1 - P(N(4) \leq 5) = 1 - 0.44569 = 0.55431 \approx 0.554$
ポアソン分布の重要な性質
- 極限定理：二項分布$B(n,p)$で$n \to \infty, p \to 0, np \to \lambda$のとき$\text{Poisson}(\lambda)$に収束
- 加法性：独立な$\text{Poisson}(\lambda_1), \text{Poisson}(\lambda_2)$の和は$\text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$
- 正規近似：$\lambda$が大きいとき$N(\lambda, \lambda)$で近似可能
- 指数分布との関係：到着間隔は$\text{Exp}(\lambda)$に従う</li></ol></div>