確率過程

マルコフ連鎖、ポアソン過程、ブラウン運動、マルチンゲールなど統計検定準1級レベルの確率過程理論

ブラウン運動の基本性質レベル3

標準ブラウン運動 $\{B_t\}_{t\ge0}$ の性質として正しいものを1つ選びなさい。

解説

解答と解説を表示

この問題は、ブラウン運動の定義レベルの性質を確認する問題です。準1級で重要なのは、抽象的な理論名よりも、増分分布や分散の時間依存を正しく把握することです。

標準ブラウン運動の代表性質

$B_0=0$
独立増分を持つ
増分は正規分布: $B_t-B_s\sim N(0,t-s)$
連続な軌道を持つ（ただし至る所微分可能ではない）

選択肢の判定

正解: 選択肢1。増分分布の基本を正しく述べています。
選択肢2は誤り。ブラウン運動は上下に揺れ、単調ではありません。
選択肢3は誤り。増分は確率変数であり固定値ではありません。
選択肢4は誤り。状態空間は連続です。
選択肢5は誤り。$\mathrm{Var}(B_t)=t$ なので時間とともに増えます。

応用への接続

ブラウン運動は連続時間確率過程の基礎モデルです。
時系列・金融・拡散モデルの導入で頻出します。
まず「増分の平均0・分散が時間差」という軸を確実に押さえると応用に進みやすいです。

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