この問題では、複合ポアソン過程の理論と期待値計算の深い構造について理解を深めます。複合ポアソン過程（compound Poisson process）は、保険数理学、リスク理論、待ち行列理論、金融工学において「ランダムな回数のランダムな大きさの事象の累積」をモデル化する基本的なツールです。この過程は現代の確率論とその応用において中心的な役割を果たしています。
複合ポアソン過程：確率的累積の数学的記述
複合ポアソン過程は、「ポアソン確率的な時刻で発生する独立同分布のランダムサイズ事象の累積和」として定義される確率過程で、単純なポアソン計数過程を大幅に一般化した概念です。保険業界では「クレーム発生回数×クレーム額」、金融業界では「取引回数×取引量」、物理学では「粒子到着回数×粒子エネルギー」など、幅広い現象のモデル化に使用されます。
Step 1: 複合ポアソン過程の厳密な定義
数学的定義：
複合ポアソン過程$\{S_t, t \geq 0\}$は以下で定義されます：
$S_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i$
ここで：
- $\{N_t, t \geq 0\}$：強度$\lambda > 0$のポアソン過程（事象発生回数）
- $\{Y_i, i \geq 1\}$：独立同分布のランダム変数列（事象サイズ）
- 独立性：$\{N_t\}$と$\{Y_i\}$は相互独立
複合ポアソン過程の構成要素
| 要素 | 役割 | 今回の設定 |
|---|
| $N_t$ | 事象発生タイミングの制御 | $\text{Poisson}(\lambda t)$, $\lambda = 2$ |
| $Y_i$ | 各事象の影響度の制御 | $\text{Exp}(1/3)$, $E[Y_i] = 3$ |
| $S_t$ | 累積的影響の記述 | 求める確率変数 |
Step 2: 指数分布の詳細な性質
事象サイズ分布の設定：
各$Y_i$は平均3の指数分布に従うので：
$Y_i \sim \text{Exp}\left(\frac{1}{3}\right)$
指数分布の確率密度関数：
$f_Y(y) = \frac{1}{3} e^{-y/3}, \quad y \geq 0$
指数分布の統計的性質：
- 期待値：$E[Y_i] = 3$
- 分散：$\text{Var}[Y_i] = 9$
- 第2モーメント：$E[Y_i^2] = \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2 = 9 + 9 = 18$
- 無記憶性：$P(Y > s + t | Y > s) = P(Y > t)$
指数分布の重要性質
- スケール不変性：$cY \sim \text{Exp}(\lambda/c)$ if $Y \sim \text{Exp}(\lambda)$
- 最小値の性質：独立な指数分布の最小値も指数分布
- ポアソン過程との関係：到着間隔時間の分布
- 最大エントロピー：支台が$[0,\infty)$で期待値固定の場合
Step 3: 条件付き期待値による期待値の導出
全期待値の法則の適用：
$S_t$の期待値を条件付き期待値で分解：
$E[S_t] = E[E[S_t | N_t]]$
内側の条件付き期待値：
$N_t = n$が与えられたとき：
$E[S_t | N_t = n] = E\left[\sum_{i=1}^n Y_i \bigg| N_t = n\right] = E\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right]$
$Y_i$が$N_t$と独立であることから：
$E\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right] = \sum_{i=1}^n E[Y_i] = n \cdot E[Y_i]$
外側の期待値：
$E[S_t] = E[N_t \cdot E[Y_i]] = E[N_t] \cdot E[Y_i]$
Step 4: ポアソン過程の期待値
ポアソン分布の期待値：
$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t)$なので：
$E[N_t] = \lambda t$
今回の具体的値：
- $\lambda = 2$（時間あたり平均2回の事象発生）
- $t = 1$（1時間の観測期間）
- $E[N_1] = 2 \times 1 = 2$
ポアソン過程の期待値の解釈
$E[N_t] = \lambda t = 2$の意味：
- 物理的解釈：1時間で平均2回の事象発生
- 確率的解釈：長期平均での発生頻度
- リスク管理解釈：基本的なリスク量の測定
Step 5: 最終的な期待値計算
複合ポアソン過程の期待値公式：
$E[S_t] = E[N_t] \cdot E[Y_i] = \lambda t \cdot E[Y_i]$
数値代入：
$E[S_1] = 2 \times 1 \times 3 = 6.0$
結果の解釈：
- 時間1での期待累積値：平均的に6単位の累積
- 分解：平均2回の事象 × 各事象平均3単位 = 6単位
- 線形性：事象数と事象サイズの期待値の積
Step 6: 期待値公式の理論的背景
測度論的証明（Fubiniの定理）：
\begin{align}E[S_t] &= E\left[\sum_{i=1}^{N_t} Y_i\right] \\&= \sum_{n=0}^{\infty} E\left[\sum_{i=1}^n Y_i \mathbf{1}_{\{N_t = n\}}\right] \\&= \sum_{n=0}^{\infty} E\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right] P(N_t = n) \\&= \sum_{n=0}^{\infty} n E[Y_i] P(N_t = n) \\&= E[Y_i] \sum_{n=0}^{\infty} n P(N_t = n) \\&= E[Y_i] E[N_t]\end{align}
この証明のポイント：
- Fubiniの定理による積分順序交換
- $Y_i$と$N_t$の独立性の利用
- ポアソン分布の期待値の定義との一致
複合ポアソン過程の高次モーメント
Step 7: 分散の計算理論
複合ポアソン過程の分散公式：
$\text{Var}[S_t] = \lambda t \cdot E[Y_i^2]$
今回の設定での分散：
$\text{Var}[S_1] = 2 \times 1 \times 18 = 36$
分散公式の導出：
全分散の法則により：
$\text{Var}[S_t] = E[\text{Var}[S_t | N_t]] + \text{Var}[E[S_t | N_t]]$
- $E[S_t | N_t = n] = n E[Y_i]$
- $\text{Var}[S_t | N_t = n] = n \text{Var}[Y_i]$（独立性）
- $\text{Var}[E[S_t | N_t]] = (E[Y_i])^2 \text{Var}[N_t]$
Step 8: 特性関数による解析
複合ポアソン過程の特性関数：
$Y_i$の特性関数を$\phi_Y(u)$とすると：
$\phi_{S_t}(u) = \exp(\lambda t(\phi_Y(u) - 1))$
指数分布の特性関数：
$\phi_Y(u) = \frac{1/3}{1/3 - iu} = \frac{1}{1 - 3iu}$
複合ポアソン過程の特性関数：
$\phi_{S_1}(u) = \exp\left(2\left(\frac{1}{1-3iu} - 1\right)\right)$
価値：
複合ポアソン過程の期待値計算は、表面的には単純な「掛け算」ですが、その背後には豊富な確率論的構造があります。独立性、全期待値の法則、測度論的積分理論が美しく統合された結果です。実用面では、この期待値が「基本リスク量」として機能し、より複雑なリスク測度や意思決定基準の出発点となります。現代の金融工学、保険数理学、オペレーションズリサーチにおいて、複合ポアソン過程は「ランダムな累積現象」の標準的モデルとしてよくつかわれます