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<p>この問題では、<strong>複合ポアソン過程の分散理論と確率的変動の数学的構造</strong>について理解を深めます。分散は確率変数の「散らばり」を定量化する基本統計量ですが、複合ポアソン過程においては「事象発生数の変動」と「事象サイズの変動」という2つの独立な確率的要因が複合的に作用する複雑な構造を持ちます。この理論は、リスク管理、保険数理学、金融工学において「不確実性の定量化」の核心をなしています。</p><h4>複合ポアソン過程の分散：二重確率性の数学的記述</h4><p>複合ポアソン過程の分散は、単純なポアソン過程の「事象数の変動」に加えて、各事象の「サイズの変動」が重畳的に影響する二重確率構造を持ちます。この構造は、全分散の法則（law of total variance）により美しく分解され、リスク理論における「頻度リスク」と「強度リスク」の概念的基盤となっています。</p><p class='step'><strong>Step 1: 複合ポアソン過程の二重確率構造</strong></p><p><strong>前問からの継続設定：</strong></p><ul><li><strong>基本過程</strong>：$S_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i$（複合ポアソン過程）</li><li><strong>事象発生過程</strong>：$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t)$、$\lambda = 2
lt;/li><li><strong>事象サイズ分布</strong>：$Y_i \sim \text{Exp}(1/3)$、$E[Y_i] = 3
lt;/li><li><strong>独立性</strong>：$\{N_t\}$と$\{Y_i\}$は相互独立、$\{Y_i\}$は独立同分布</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>複合ポアソン過程の確率的不確実性の源泉</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>不確実性の源泉</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>数学的表現</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>実世界での例</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>頻度リスク</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{Var}[N_t] = \lambda t
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>保険クレーム発生件数の変動</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>強度リスク</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{Var}[Y_i]
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>各クレーム金額の変動</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>複合リスク</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{Var}[S_t]
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>総クレーム額の変動</td></tr></table></div><p class='step'><strong>Step 2: 全分散の法則による分散分解</strong></p><p><strong>全分散の法則（Law of Total Variance）：</strong></p><p>任意の確率変数$X$と$Y$に対して：</p><div class='formula'>$\text{Var}[X] = E[\text{Var}[X|Y]] + \text{Var}[E[X|Y]]$
複合ポアソン過程への適用：
$\text{Var}[S_t] = E[\text{Var}[S_t|N_t]] + \text{Var}[E[S_t|N_t]]$
これにより、分散が「条件付き分散の期待値」と「条件付き期待値の分散」に美しく分解されます。
Step 3: 第1項：条件付き分散の期待値
$N_t = n$が与えられた場合の条件付き分散：
$\text{Var}[S_t | N_t = n] = \text{Var}\left[\sum_{i=1}^n Y_i \bigg| N_t = n\right]$
$Y_i$が$N_t$と独立で、かつ$Y_i$同士も独立なので：
$\text{Var}\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right] = \sum_{i=1}^n \text{Var}[Y_i] = n \cdot \text{Var}[Y_i]$
期待値の計算：
$E[\text{Var}[S_t|N_t]] = E[N_t \cdot \text{Var}[Y_i]] = E[N_t] \cdot \text{Var}[Y_i] = \lambda t \cdot \text{Var}[Y_i]$
この項は「事象数が確定した場合の、事象サイズのばらつきによる影響」を表します。
Step 4: 第2項：条件付き期待値の分散
条件付き期待値：
前問で導出した通り：
$E[S_t | N_t = n] = n \cdot E[Y_i]$
条件付き期待値の分散：
$\text{Var}[E[S_t|N_t]] = \text{Var}[N_t \cdot E[Y_i]] = (E[Y_i])^2 \cdot \text{Var}[N_t] = (E[Y_i])^2 \cdot \lambda t$
この項は「事象サイズが確定した場合の、事象数のばらつきによる影響」を表します。
Step 5: 分散公式の統合
複合ポアソン過程の分散公式：
\begin{align}\text{Var}[S_t] &= \lambda t \cdot \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2 \cdot \lambda t \\&= \lambda t \cdot (\text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2) \\&= \lambda t \cdot E[Y_i^2]\end{align}
最後の等式は、$E[Y_i^2] = \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2$という基本公式を利用しています。
分散公式の構造的理解
分散公式$\text{Var}[S_t] = \lambda t \cdot E[Y_i^2]$の美しい構造：
- $\lambda t$：時間単位での期待事象発生数（規模因子）
- $E[Y_i^2]$：事象サイズの第2モーメント（強度因子）
- 積構造：頻度と強度の相乗効果を表現
- 線形性：時間$t$に対する線形増加
Step 6: 指数分布の第2モーメントの詳細計算
指数分布のモーメント計算：
$Y_i \sim \text{Exp}(\mu)$（率パラメータ$\mu = 1/3$）に対して：
$E[Y_i^2] = \int_0^{\infty} y^2 \cdot \mu e^{-\mu y} dy$
部分積分による計算：
$u = y^2$, $dv = \mu e^{-\mu y} dy$とすると：
$E[Y_i^2] = \left[-y^2 e^{-\mu y}\right]_0^{\infty} + 2\int_0^{\infty} y e^{-\mu y} dy = 0 + 2E[Y_i] = 2 \cdot \frac{1}{\mu}$
数値計算：
$E[Y_i^2] = \frac{2}{\mu} = \frac{2}{1/3} = 6$
検証（分散公式使用）：
- $E[Y_i] = 3$
- $\text{Var}[Y_i] = (1/\mu)^2 = 9$
- $E[Y_i^2] = \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2 = 9 + 9 = 18$
あれ、計算に矛盾があります。正しくは：
$E[Y_i^2] = \frac{2}{\mu^2} = \frac{2}{(1/3)^2} = 2 \times 9 = 18$
実は、指数分布$\text{Exp}(\mu)$の第2モーメントは$\frac{2}{\mu^2}$です。
Step 7: 最終的な分散計算
複合ポアソン過程の分散：
$\text{Var}[S_1] = \lambda \times 1 \times E[Y_i^2] = 2 \times 1 \times 18 = 36$</div>