この問題では、複合ポアソン過程の分散理論と確率的変動の数学的構造について理解を深めます。分散は確率変数の「散らばり」を定量化する基本統計量ですが、複合ポアソン過程においては「事象発生数の変動」と「事象サイズの変動」という2つの独立な確率的要因が複合的に作用する複雑な構造を持ちます。この理論は、リスク管理、保険数理学、金融工学において「不確実性の定量化」の核心をなしています。
複合ポアソン過程の分散：二重確率性の数学的記述
複合ポアソン過程の分散は、単純なポアソン過程の「事象数の変動」に加えて、各事象の「サイズの変動」が重畳的に影響する二重確率構造を持ちます。この構造は、全分散の法則（law of total variance）により分解され、リスク理論における「頻度リスク」と「強度リスク」の概念的基盤となっています。
Step 1: 複合ポアソン過程の二重確率構造
前問からの継続設定：
- 基本過程：$S_t = \sum_{i=1}^{N_t} Y_i$（複合ポアソン過程）
- 事象発生過程：$N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t)$、$\lambda = 2$
- 事象サイズ分布：$Y_i \sim \text{Exp}(1/3)$、$E[Y_i] = 3$
- 独立性：$\{N_t\}$と$\{Y_i\}$は相互独立、$\{Y_i\}$は独立同分布
複合ポアソン過程の確率的不確実性の源泉
| 不確実性の源泉 | 数学的表現 | 実世界での例 |
|---|
| 頻度リスク | $\text{Var}[N_t] = \lambda t$ | 保険クレーム発生件数の変動 |
| 強度リスク | $\text{Var}[Y_i]$ | 各クレーム金額の変動 |
| 複合リスク | $\text{Var}[S_t]$ | 総クレーム額の変動 |
Step 2: 全分散の法則による分散分解
全分散の法則（Law of Total Variance）：
任意の確率変数$X$と$Y$に対して：
$\text{Var}[X] = E[\text{Var}[X|Y]] + \text{Var}[E[X|Y]]$
複合ポアソン過程への適用：
$\text{Var}[S_t] = E[\text{Var}[S_t|N_t]] + \text{Var}[E[S_t|N_t]]$
これにより、分散が「条件付き分散の期待値」と「条件付き期待値の分散」に美しく分解されます。
Step 3: 第1項：条件付き分散の期待値
$N_t = n$が与えられた場合の条件付き分散：
$\text{Var}[S_t | N_t = n] = \text{Var}\left[\sum_{i=1}^n Y_i \bigg| N_t = n\right]$
$Y_i$が$N_t$と独立で、かつ$Y_i$同士も独立なので：
$\text{Var}\left[\sum_{i=1}^n Y_i\right] = \sum_{i=1}^n \text{Var}[Y_i] = n \cdot \text{Var}[Y_i]$
期待値の計算：
$E[\text{Var}[S_t|N_t]] = E[N_t \cdot \text{Var}[Y_i]] = E[N_t] \cdot \text{Var}[Y_i] = \lambda t \cdot \text{Var}[Y_i]$
この項は「事象数が確定した場合の、事象サイズのばらつきによる影響」を表します。
Step 4: 第2項：条件付き期待値の分散
条件付き期待値：
前問で導出した通り：
$E[S_t | N_t = n] = n \cdot E[Y_i]$
条件付き期待値の分散：
$\text{Var}[E[S_t|N_t]] = \text{Var}[N_t \cdot E[Y_i]] = (E[Y_i])^2 \cdot \text{Var}[N_t] = (E[Y_i])^2 \cdot \lambda t$
この項は「事象サイズが確定した場合の、事象数のばらつきによる影響」を表します。
Step 5: 分散公式の統合
複合ポアソン過程の分散公式：
\begin{align}\text{Var}[S_t] &= \lambda t \cdot \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2 \cdot \lambda t \\&= \lambda t \cdot (\text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2) \\&= \lambda t \cdot E[Y_i^2]\end{align}
最後の等式は、$E[Y_i^2] = \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2$という基本公式を利用しています。
分散公式の構造的理解
分散公式$\text{Var}[S_t] = \lambda t \cdot E[Y_i^2]$の美しい構造：
- $\lambda t$：時間単位での期待事象発生数（規模因子）
- $E[Y_i^2]$：事象サイズの第2モーメント（強度因子）
- 積構造：頻度と強度の相乗効果を表現
- 線形性：時間$t$に対する線形増加
Step 6: 指数分布の第2モーメントの詳細計算
指数分布のモーメント計算：
$Y_i \sim \text{Exp}(\mu)$（率パラメータ$\mu = 1/3$）に対して：
$E[Y_i^2] = \int_0^{\infty} y^2 \cdot \mu e^{-\mu y} dy$
部分積分による計算：
$u = y^2$, $dv = \mu e^{-\mu y} dy$とすると：
$E[Y_i^2] = \left[-y^2 e^{-\mu y}\right]_0^{\infty} + 2\int_0^{\infty} y e^{-\mu y} dy = 0 + 2E[Y_i] = 2 \cdot \frac{1}{\mu}$
数値計算：
$E[Y_i^2] = \frac{2}{\mu} = \frac{2}{1/3} = 6$
検証（分散公式使用）：
- $E[Y_i] = 3$
- $\text{Var}[Y_i] = (1/\mu)^2 = 9$
- $E[Y_i^2] = \text{Var}[Y_i] + (E[Y_i])^2 = 9 + 9 = 18$
あれ、計算に矛盾があります。正しくは：
$E[Y_i^2] = \frac{2}{\mu^2} = \frac{2}{(1/3)^2} = 2 \times 9 = 18$
実は、指数分布$\text{Exp}(\mu)$の第2モーメントは$\frac{2}{\mu^2}$です。
Step 7: 最終的な分散計算
複合ポアソン過程の分散：
$\text{Var}[S_1] = \lambda \times 1 \times E[Y_i^2] = 2 \times 1 \times 18 = 36$