<h4>ARMA(1,1)モデルの自己共分散構造：理論と計算</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ARMAモデルの統合理論</div><p>自己回帰移動平均（ARMA）モデルは、AR成分とMA成分を組み合わせることで、複雑な時系列パターンを柔軟にモデル化できます。特にARMA(1,1)モデルは、多くの経済・金融時系列において優れた近似性能を示し、Box-Jenkins法における重要な基準モデルとなっています。</p></div><h4>ARMA(1,1)モデルの数学的構造</h4><p class='step'><strong>Step 1: モデルの定義と基本性質</strong></p><p>ARMA(1,1)モデルは以下のように定義されます：</p><div class='formula'>$X_t = \phi X_{t-1} + \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\phi = 0.6$：自己回帰係数（$|\phi| < 1$で定常性確保）</li><li>$\theta = 0.4$：移動平均係数</li><li>$\epsilon_t \sim WN(0, 1)$：ホワイトノイズ過程</li></ul><p><strong>定常性と可逆性の確認：</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ARMA(1,1)の安定性条件</div><ul><li><strong>定常性</strong>：$|\phi| = 0.6 < 1$ ✓（特性方程式 $1 - 0.6z = 0$ の根 $z = 1.67 > 1$）</li><li><strong>可逆性</strong>：$|\theta| = 0.4 < 1$ ✓（MA特性方程式 $1 + 0.4z = 0$ の根 $z = -2.5$、$|z| > 1$）</li><li><strong>識別性</strong>：ARとMA多項式に共通根なし ✓</li></ul></div><h4>理論的自己共分散関数の導出</h4><p class='step'><strong>Step 2: 一般理論の適用</strong></p><p><strong>無限MA表現による方法：</strong></p><p>ARMA(1,1)モデルの無限MA表現は：</p><div class='formula'>$X_t = \epsilon_t + \psi_1 \epsilon_{t-1} + \psi_2 \epsilon_{t-2} + \cdots = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j}
lt;/div><p>$\psi$係数は以下の漸化式で求められます：</p><div class='formula'>$\psi_0 = 1, \quad \psi_1 = \phi + \theta = 0.6 + 0.4 = 1.0
lt;/div><div class='formula'>$\psi_j = \phi \psi_{j-1} \quad \text{for } j \geq 2
lt;/div><p>したがって：</p><ul><li>$\psi_2 = 0.6 \times 1.0 = 0.6
lt;/li><li>$\psi_3 = 0.6 \times 0.6 = 0.36
lt;/li><li>$\psi_j = 0.6^{j-1}$ for $j \geq 1
lt;/li></ul><h4>分散と自己共分散の計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: ラグ0（分散）の計算</strong></p><p>無限MA表現より：</p><div class='formula'>$\gamma(0) = \text{Var}(X_t) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j^2
lt;/div><div class='formula'>$= 1 \times \left[ 1 + 1^2 + \sum_{j=2}^{\infty} (0.6^{j-1})^2 \right]
lt;/div><div class='formula'>$= 1 + 1 + \sum_{j=2}^{\infty} 0.6^{2(j-1)} = 2 + \sum_{k=1}^{\infty} 0.36^k
lt;/div><div class='formula'>$= 2 + \frac{0.36}{1-0.36} = 2 + \frac{0.36}{0.64} = 2 + 0.5625 = 2.5625
lt;/div><p class='step'><strong>Step 4: ラグ1の自己共分散計算</strong></p><p>ARMA(1,1)モデルの自己共分散関数は：</p><div class='formula'>$\gamma(h) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \psi_{j+h} \quad \text{for } h \geq 0
lt;/div><p>$h=1$の場合：</p><div class='formula'>$\gamma(1) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \psi_{j+1}
lt;/div><div class='formula'>$= 1 \times \left[ \psi_0 \psi_1 + \psi_1 \psi_2 + \sum_{j=2}^{\infty} \psi_j \psi_{j+1} \right]
lt;/div><div class='formula'>$= 1 \times 1 + 1 \times 0.6 + \sum_{j=2}^{\infty} 0.6^{j-1} \times 0.6^j
lt;/div><div class='formula'>$= 1 + 0.6 + \sum_{j=2}^{\infty} 0.6^{2j-1}
lt;/div><div class='formula'>$= 1.6 + 0.6 \sum_{j=2}^{\infty} 0.36^{j-1} = 1.6 + 0.6 \sum_{k=1}^{\infty} 0.36^k
lt;/div><div class='formula'>$= 1.6 + 0.6 \times \frac{0.36}{1-0.36} = 1.6 + 0.6 \times 0.5625 = 1.6 + 0.3375 = 1.9375
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>計算の検証</div><p>別解法として、ARMA(1,1)の直接的な自己共分散公式を使用：</p><div class='formula'>$\gamma(0) = \frac{\sigma^2[1 + \theta^2 + 2\phi\theta]}{1 - \phi^2} = \frac{1[1 + 0.16 + 2 \times 0.6 \times 0.4]}{1 - 0.36} = \frac{1.64}{0.64} = 2.5625$ ✓</div><div class='formula'>$\gamma(1) = \frac{\sigma^2[(1 + \theta\phi)(\phi + \theta)]}{1 - \phi^2} = \frac{1[(1 + 0.24)(1)]}{0.64} = \frac{1.24}{0.64} = 1.9375$ ✓</div></div><h4>代替解法：Yule-Walker方程式</h4><p class='step'><strong>Step 5: 直接的方程式による検証</strong></p><p>ARMA(1,1)モデル：$X_t = 0.6X_{t-1} + \epsilon_t + 0.4\epsilon_{t-1}
lt;/p><p>両辺に$X_{t-1}$を乗じて期待値を取ると：</p><div class='formula'>$\gamma(1) = 0.6\gamma(0) + E[\epsilon_t X_{t-1}] + 0.4E[\epsilon_{t-1} X_{t-1}]
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$E[\epsilon_t X_{t-1}] = 0$（ホワイトノイズの性質）</li><li>$E[\epsilon_{t-1} X_{t-1}] = E[\epsilon_{t-1}(0.6X_{t-2} + \epsilon_{t-1} + 0.4\epsilon_{t-2})] = \sigma^2
lt;/li></ul><p>したがって：</p><div class='formula'>$\gamma(1) = 0.6 \times 2.5625 + 0.4 \times 1 = 1.5375 + 0.4 = 1.9375
lt;/div><h4>解釈と応用</h4><p class='step'><strong>Step 6: 自己共分散の実務的意味</strong></p><p><strong>1. 系列相関の強さ：</strong></p><div class='formula'>$\rho(1) = \frac{\gamma(1)}{\gamma(0)} = \frac{1.9375}{2.5625} = 0.756
lt;/div><p>これは、隣接する観測値間に強い正の相関があることを示します。</p><p><strong>2. ARMAモデルの記憶特性：</strong></p><ul><li><strong>AR成分</strong>：長期記憶を提供（$\phi^h$で指数減衰）</li><li><strong>MA成分</strong>：短期ショックの影響（1期間のみ）</li><li><strong>組み合わせ効果</strong>：両方の特性を併せ持つ柔軟性</li></ul><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ラグ$h
lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>理論値</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>自己相関$\rho(h)
lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>解釈</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2.5625</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1.000</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>完全相関</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1.9375</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.756</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>強い正相関</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1.163</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.454</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>中程度の相関</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$h \geq 2
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\gamma(1) \times 0.6^{h-1}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>指数減衰</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>AR特性</td></tr></table><h4>高次ラグの自己共分散</h4><p class='step'><strong>Step 7: 一般的なパターン</strong></p><p>$h \geq 2$に対して、ARMA(1,1)モデルの自己共分散はAR(1)と同様の漸化式に従います：</p><div class='formula'>$\gamma(h) = \phi \gamma(h-1) = 0.6 \gamma(h-1)
lt;/div><p>したがって：</p><div class='formula'>$\gamma(h) = \gamma(1) \times \phi^{h-1} = 1.9375 \times 0.6^{h-1} \quad \text{for } h \geq 1
lt;/div>