時系列解析

<h4>季節調整法：時系列の構造分解と手法</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>季節調整の重要性</div><p>季節調整は、経済・ビジネス統計において最も重要な前処理技術の一つです。季節性の除去により、基調的な変化（トレンド・循環）とノイズを区別し、意思決定に示唆を大事な示唆をあたえます。X-13ARIMA-SEATSは米国センサス局によって開発された最先端の季節調整手法で、世界中の統計機関で標準的に使用されています。</p></div><h4>時系列の構造分解理論</h4><p class='step'><strong>Step 1: 時系列の基本分解モデル</strong></p><p><strong>加法型モデル（Additive Model）：</strong></p><div class='formula'>$Y_t = T_t + S_t + I_tlt;/div><p><strong>乗法型モデル（Multiplicative Model）：</strong></p><div class='formula'>$Y_t = T_t \times S_t \times I_tlt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$Y_t$：観測値</li><li>$T_t$：トレンド・循環成分（Trend-Cycle）</li><li>$S_t$：季節成分（Seasonal）</li><li>$I_t$：不規則成分（Irregular）</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>分解モデルの選択基準</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特徴</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>加法型</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>乗法型</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>判定方法</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>季節変動の大きさ</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>一定</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>レベルに比例</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>変動係数の検討</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>適用例</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>気温、日照時間</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>GDP、売上高</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>経済的解釈</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>対数変換</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>不要</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>加法型に変換</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\log(ABC) = \log A + \log B + \log Clt;/td></tr></table></div><h4>X-13ARIMA-SEATSの革新的アプローチ</h4><p class='step'><strong>Step 2: X-13ARIMA-SEATSの統合フレームワーク</strong></p><p><strong>2つの先進的手法の統合：</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>X-13ARIMA-SEATSの構成要素</div><ol><li><strong>ARIMA-based X-13</strong><ul><li>前処理：極値検出・補正、曜日効果・移動祝日効果の調整</li><li>ARIMA建模：自動モデル選択とパラメータ推定</li><li>X-11フィルタ：改良された移動平均による成分分離</li></ul></li><li><strong>SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series)</strong><ul><li>モデルベース手法：ARIMAモデルからの理論的分解</li><li>信号抽出：各成分の最適線形予測</li><li>修正・改訂指標：調整系列の安定性評価</li></ul></li></ol></div><h4>X-13ARIMA-SEATSの詳細な処理手順</h4><p class='step'><strong>Step 3: 前処理段階（Pre-adjustment）</strong></p><p><strong>3.1 極値検出・補正</strong></p><p>以下の統計的手法により外れ値を検出・補正：</p><ul><li><strong>Additive Outlier (AO)</strong>：特定時点の一時的ショック</li><li><strong>Level Shift (LS)</strong>：構造変化による水準シフト</li><li><strong>Temporary Change (TC)</strong>：一時的な変化の減衰過程</li><li><strong>Seasonal Outlier (SO)</strong>：特定季節の異常値</li></ul><div class='formula'>$y_t^* = y_t - \sum_{i} \omega_i I_t^{(i)}lt;/div><p>ここで、$I_t^{(i)}$は各種外れ値のダミー変数</p><p><strong>3.2 曜日効果・移動祝日効果の調整</strong></p><div class='formula'>$y_t^{**} = y_t^* - \sum_{j} \beta_j D_{jt} - \sum_{k} \gamma_k H_{kt}lt;/div><ul><li>$D_{jt}$：曜日ダミー変数</li><li>$H_{kt}$：移動祝日（イースター等）ダミー変数</li></ul><p class='step'><strong>Step 4: ARIMAモデリング段階</strong></p><p><strong>自動ARIMAモデル選択：</strong></p><p>X-13ARIMA-SEATSは以下のプロセスで最適モデルを選択：</p><ol><li><strong>候補モデル生成</strong>：統計的基準による次数範囲設定</li><li><strong>パラメータ推定</strong>：最尤法による効率的推定</li><li><strong>モデル診断</strong>：残差の系列無相関性・正規性検定</li><li><strong>情報規準</strong>：AIC、BICによる最終選択</li></ol><div class='formula'>$\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s: \quad \Phi(B^s)\phi(B)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = \Theta(B^s)\theta(B)\epsilon_tlt;/div><p class='step'><strong>Step 5: 成分分解段階（Decomposition）</strong></p><p><strong>X-11改良フィルタによる分解：</strong></p><p>X-13では以下の反復プロセスにより成分を分離：</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>X-11フィルタの反復プロセス</div><ol><li><strong>初期トレンド推定</strong>：Henderson移動平均（13項、23項等）</li><li><strong>季節・不規則成分分離</strong>：$SI_t = Y_t / T_t$ （乗法型の場合）</li><li><strong>季節成分推定</strong>：3×3、3×5移動平均の組み合わせ</li><li><strong>季節調整系列</strong>：$SA_t = Y_t / S_tlt;/li><li><strong>最終トレンド推定</strong>：改良Henderson フィルタ</li><li><strong>最終不規則成分</strong>：$I_t = SA_t / T_tlt;/li></ol></div><p><strong>Henderson移動平均の数学的定義：</strong></p><div class='formula'>$T_t = \sum_{j=-n}^{n} h_j Y_{t+j}lt;/div><p>ここで、$h_j$はHenderson重みで、以下の特性を持ちます：</p><ul><li>$\sum h_j = 1$ （保存性）</li><li>$\sum j \cdot h_j = 0$ （対称性）</li><li>3次多項式トレンドを完全に保存</li></ul><p class='step'><strong>Step 6: SEATS による理論的分解</strong></p><p><strong>信号抽出理論：</strong></p><p>SEATSでは、ARIMAモデル</p><div class='formula'>$\phi(B)\Phi(B^s)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = \theta(B)\Theta(B^s)\epsilon_tlt;/div><p>を以下のように成分に分解：</p><div class='formula'>$y_t = s_t + n_t + u_tlt;/div><p>各成分は個別のARIMAプロセス：</p><ul><li>$s_t$：季節成分 $\sim$ ARIMA$(0,1,1)(0,1,1)_slt;/li><li>$n_t$：トレンド・循環成分 $\sim$ ARIMA$(0,2,2)lt;/li><li>$u_t$：不規則成分 $\sim$ ホワイトノイズ</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>SEATS の信号抽出公式</div><p>各成分の最適推定値は：</p><div class='formula'>$\hat{s}_t = \frac{\theta_s(B)\theta_s(F)}{\theta(B)\theta(F)} y_tlt;/div><div class='formula'>$\hat{n}_t = \frac{\theta_n(B)\theta_n(F)}{\theta(B)\theta(F)} y_tlt;/div><p>ここで、$F$は前進演算子、$\theta_i(B)$は各成分のMA多項式</p></div><h4>季節調整の品質評価</h4><p class='step'><strong>Step 7: 診断統計と品質指標</strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>診断項目</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>指標</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>良好な範囲</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>意味</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>季節性の除去</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>F-statistics</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>< 2.4</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>残存季節性の検定</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>移動季節性</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>Kruskal-Wallis</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>p-value > 0.01</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>季節パターンの安定性</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>改訂幅</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>M7 statistic</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>< 1.0</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>調整系列の安定性</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>総合品質</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>Q statistic</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>< 1.0</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>総合的な調整品質</td></tr></table>