季節調整法：時系列の構造分解と手法
季節調整の重要性
季節調整は、経済・ビジネス統計において最も重要な前処理技術の一つです。季節性の除去により、基調的な変化（トレンド・循環）とノイズを区別し、意思決定に示唆を大事な示唆をあたえます。X-13ARIMA-SEATSは米国センサス局によって開発された最先端の季節調整手法で、世界中の統計機関で標準的に使用されています。
時系列の構造分解理論
Step 1: 時系列の基本分解モデル
加法型モデル（Additive Model）：
$Y_t = T_t + S_t + I_t$
乗法型モデル（Multiplicative Model）：
$Y_t = T_t \times S_t \times I_t$
ここで：
- $Y_t$：観測値
- $T_t$：トレンド・循環成分（Trend-Cycle）
- $S_t$：季節成分（Seasonal）
- $I_t$：不規則成分（Irregular）
分解モデルの選択基準
| 特徴 | 加法型 | 乗法型 | 判定方法 |
|---|
| 季節変動の大きさ | 一定 | レベルに比例 | 変動係数の検討 |
| 適用例 | 気温、日照時間 | GDP、売上高 | 経済的解釈 |
| 対数変換 | 不要 | 加法型に変換 | $\log(ABC) = \log A + \log B + \log C$ |
X-13ARIMA-SEATSの革新的アプローチ
Step 2: X-13ARIMA-SEATSの統合フレームワーク
2つの先進的手法の統合：
X-13ARIMA-SEATSの構成要素
- ARIMA-based X-13
- 前処理：極値検出・補正、曜日効果・移動祝日効果の調整
- ARIMA建模：自動モデル選択とパラメータ推定
- X-11フィルタ：改良された移動平均による成分分離
- SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series)
- モデルベース手法：ARIMAモデルからの理論的分解
- 信号抽出：各成分の最適線形予測
- 修正・改訂指標：調整系列の安定性評価
X-13ARIMA-SEATSの詳細な処理手順
Step 3: 前処理段階（Pre-adjustment）
3.1 極値検出・補正
以下の統計的手法により外れ値を検出・補正：
- Additive Outlier (AO)：特定時点の一時的ショック
- Level Shift (LS)：構造変化による水準シフト
- Temporary Change (TC)：一時的な変化の減衰過程
- Seasonal Outlier (SO)：特定季節の異常値
$y_t^* = y_t - \sum_{i} \omega_i I_t^{(i)}$
ここで、$I_t^{(i)}$は各種外れ値のダミー変数
3.2 曜日効果・移動祝日効果の調整
$y_t^{**} = y_t^* - \sum_{j} \beta_j D_{jt} - \sum_{k} \gamma_k H_{kt}$
- $D_{jt}$：曜日ダミー変数
- $H_{kt}$：移動祝日（イースター等）ダミー変数
Step 4: ARIMAモデリング段階
自動ARIMAモデル選択：
X-13ARIMA-SEATSは以下のプロセスで最適モデルを選択：
- 候補モデル生成：統計的基準による次数範囲設定
- パラメータ推定：最尤法による効率的推定
- モデル診断：残差の系列無相関性・正規性検定
- 情報規準：AIC、BICによる最終選択
$\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s: \quad \Phi(B^s)\phi(B)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = \Theta(B^s)\theta(B)\epsilon_t$
Step 5: 成分分解段階（Decomposition）
X-11改良フィルタによる分解：
X-13では以下の反復プロセスにより成分を分離：
X-11フィルタの反復プロセス
- 初期トレンド推定：Henderson移動平均（13項、23項等）
- 季節・不規則成分分離：$SI_t = Y_t / T_t$ （乗法型の場合）
- 季節成分推定：3×3、3×5移動平均の組み合わせ
- 季節調整系列：$SA_t = Y_t / S_t$
- 最終トレンド推定：改良Henderson フィルタ
- 最終不規則成分：$I_t = SA_t / T_t$
Henderson移動平均の数学的定義：
$T_t = \sum_{j=-n}^{n} h_j Y_{t+j}$
ここで、$h_j$はHenderson重みで、以下の特性を持ちます：
- $\sum h_j = 1$ （保存性）
- $\sum j \cdot h_j = 0$ （対称性）
- 3次多項式トレンドを完全に保存
Step 6: SEATS による理論的分解
信号抽出理論：
SEATSでは、ARIMAモデル
$\phi(B)\Phi(B^s)(1-B)^d(1-B^s)^D y_t = \theta(B)\Theta(B^s)\epsilon_t$
を以下のように成分に分解：
$y_t = s_t + n_t + u_t$
各成分は個別のARIMAプロセス：
- $s_t$：季節成分 $\sim$ ARIMA$(0,1,1)(0,1,1)_s$
- $n_t$：トレンド・循環成分 $\sim$ ARIMA$(0,2,2)$
- $u_t$：不規則成分 $\sim$ ホワイトノイズ
SEATS の信号抽出公式
各成分の最適推定値は：
$\hat{s}_t = \frac{\theta_s(B)\theta_s(F)}{\theta(B)\theta(F)} y_t$
$\hat{n}_t = \frac{\theta_n(B)\theta_n(F)}{\theta(B)\theta(F)} y_t$
ここで、$F$は前進演算子、$\theta_i(B)$は各成分のMA多項式
季節調整の品質評価
Step 7: 診断統計と品質指標
| 診断項目 | 指標 | 良好な範囲 | 意味 |
|---|
| 季節性の除去 | F-statistics | < 2.4 | 残存季節性の検定 |
| 移動季節性 | Kruskal-Wallis | p-value > 0.01 | 季節パターンの安定性 |
| 改訂幅 | M7 statistic | < 1.0 | 調整系列の安定性 |
| 総合品質 | Q statistic | < 1.0 | 総合的な調整品質 |