<h4>ペリオドグラム：スペクトル解析の基礎</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ペリオドグラムの意義</div><p>ペリオドグラム（Periodogram）は、時系列の周波数領域解析の基本ツールで、現代のスペクトル解析の出発点となっています。時系列に含まれる周期的成分の強度を周波数別に分解することで、隠れた周期性の発見、ノイズからの信号抽出、システムの動的特性の理解を可能にします。経済・金融の景気循環分析、工学の振動解析、気象学の季節変動研究、信号処理のフィルタ設計において使われる手法です。</p></div><h4>フーリエ解析の数学的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: 離散フーリエ変換（DFT）</strong></p><p><strong>時系列の周波数表現：</strong></p><p>長さ$N$の有限時系列$\{x_t\}_{t=0}^{N-1}$に対する離散フーリエ変換：</p><div class='formula'>$X(\omega_k) = \sum_{t=0}^{N-1} x_t e^{-i\omega_k t}
lt;/div><p>ここで、$\omega_k = \frac{2\pi k}{N}$ （$k = 0, 1, \ldots, N-1$）は基本周波数</p><p><strong>逆離散フーリエ変換：</strong></p><div class='formula'>$x_t = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(\omega_k) e^{i\omega_k t}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>DFTの重要な性質</div><ol><li><strong>直交性</strong>：$\sum_{t=0}^{N-1} e^{i(\omega_j - \omega_k)t} = N \delta_{jk}
lt;/li><li><strong>周期性</strong>：$X(\omega_{k+N}) = X(\omega_k)
lt;/li><li><strong>共役対称性</strong>：実数列に対し$X(\omega_{N-k}) = \overline{X(\omega_k)}
lt;/li><li><strong>Parseval恒等式</strong>：$\sum_{t=0}^{N-1} |x_t|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X(\omega_k)|^2
lt;/li></ol></div><h4>ペリオドグラムの定義と性質</h4><p class='step'><strong>Step 2: スペクトル密度の推定量</strong></p><p><strong>ペリオドグラムの定義：</strong></p><div class='formula'>$I(\omega_k) = \frac{1}{N} |X(\omega_k)|^2 = \frac{1}{N} \left| \sum_{t=0}^{N-1} x_t e^{-i\omega_k t} \right|^2
lt;/div><p><strong>物理的解釈：</strong></p><ul><li>周波数$\omega_k$における<strong>パワー密度</strong>の推定値</li><li>$X(\omega_k)$の振幅の二乗を標本サイズで正規化</li><li>信号の総エネルギーの周波数別分布</li></ul><p><strong>標本スペクトル密度との関係：</strong></p><p>真のスペクトル密度$f(\omega)$に対して、ペリオドグラムは不偏推定量：</p><div class='formula'>$E[I(\omega)] = f(\omega) + O(N^{-1})
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ペリオドグラムの統計的性質</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>性質</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>数学的表現</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>意味</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>不偏性</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$E[I(\omega)] \approx f(\omega)
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>平均的に真値を推定</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>非一致性</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{Var}(I(\omega)) \not\to 0
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$N$増加でも分散減少せず</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>漸近分布</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{2I(\omega)}{f(\omega)} \sim \chi^2_2
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>自由度2のカイ二乗分布</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>解像度</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\Delta\omega = \frac{2\pi}{N}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周波数分解能</td></tr></table></div><h4>正規化係数の意味と重要性</h4><p class='step'><strong>Step 3: なぜ$1/N$なのか</strong></p><p><strong>エネルギー保存の観点：</strong></p><p>Parseval恒等式により、時間領域と周波数領域のエネルギーが等しくなるよう正規化：</p><div class='formula'>$\sum_{t=0}^{N-1} |x_t|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X(\omega_k)|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} I(\omega_k)
lt;/div><p><strong>スペクトル密度推定の観点：</strong></p><p>連続時間プロセスのスペクトル密度$f(\omega)$に対して：</p><div class='formula'>$\int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega = \gamma(0) = \text{Var}(X_t)
lt;/div><p>離散化により：</p><div class='formula'>$\frac{2\pi}{N} \sum_{k=0}^{N-1} I(\omega_k) \approx \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega
lt;/div><p>これにより$I(\omega_k)$がスペクトル密度の適切な推定量となります。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>異なる正規化の比較</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>正規化</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>定義</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>用途</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$1/N
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>スペクトル密度推定</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>統計的スペクトル解析</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$1/N^2
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>振幅スペクトル密度</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>信号処理の一部</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$1
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>パワースペクトラム</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>工学的応用</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$1/\sqrt{N}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>正規化パワー</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特殊な応用</td></tr></table></div><h4>具体的計算例</h4><p class='step'><strong>Step 4: $N=8$での詳細計算</strong></p><p><strong>基本周波数の設定：</strong></p><div class='formula'>$\omega_k = \frac{2\pi k}{8} = \frac{\pi k}{4}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 7
lt;/div><p><strong>各周波数での計算：</strong></p><ul><li>$\omega_0 = 0$ （DC成分）</li><li>$\omega_1 = \pi/4
lt;/li><li>$\omega_2 = \pi/2
lt;/li><li>$\omega_3 = 3\pi/4
lt;/li><li>$\omega_4 = \pi$ （ナイキスト周波数）</li><li>$\omega_5 = 5\pi/4$ （$= -3\pi/4$）</li><li>$\omega_6 = 3\pi/2$ （$= -\pi/2$）</li><li>$\omega_7 = 7\pi/4$ （$= -\pi/4$）</li></ul><p><strong>DFTの計算：</strong></p><div class='formula'>$X(\omega_k) = \sum_{t=0}^{7} x_t e^{-i\pi kt/4}
lt;/div><p><strong>例：$k=1$の場合</strong></p><div class='formula'>$X(\omega_1) = x_0 + x_1 e^{-i\pi/4} + x_2 e^{-i\pi/2} + x_3 e^{-i3\pi/4} + x_4 e^{-i\pi} + x_5 e^{-i5\pi/4} + x_6 e^{-i3\pi/2} + x_7 e^{-i7\pi/4}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>Euler公式による実計算</div><p>$e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$を使用：</p><ul><li>$e^{-i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)
lt;/li><li>$e^{-i\pi/2} = -i
lt;/li><li>$e^{-i3\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)
lt;/li><li>$e^{-i\pi} = -1
lt;/li><li>$e^{-i5\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)
lt;/li><li>$e^{-i3\pi/2} = i
lt;/li><li>$e^{-i7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)
lt;/li></ul></div>