ペリオドグラム：スペクトル解析の基礎
ペリオドグラムの意義
ペリオドグラム（Periodogram）は、時系列の周波数領域解析の基本ツールで、現代のスペクトル解析の出発点となっています。時系列に含まれる周期的成分の強度を周波数別に分解することで、隠れた周期性の発見、ノイズからの信号抽出、システムの動的特性の理解を可能にします。経済・金融の景気循環分析、工学の振動解析、気象学の季節変動研究、信号処理のフィルタ設計において使われる手法です。
フーリエ解析の数学的基礎
Step 1: 離散フーリエ変換（DFT）
時系列の周波数表現：
長さ$N$の有限時系列$\{x_t\}_{t=0}^{N-1}$に対する離散フーリエ変換：
$X(\omega_k) = \sum_{t=0}^{N-1} x_t e^{-i\omega_k t}$
ここで、$\omega_k = \frac{2\pi k}{N}$ （$k = 0, 1, \ldots, N-1$）は基本周波数
逆離散フーリエ変換：
$x_t = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(\omega_k) e^{i\omega_k t}$
DFTの重要な性質
- 直交性：$\sum_{t=0}^{N-1} e^{i(\omega_j - \omega_k)t} = N \delta_{jk}$
- 周期性：$X(\omega_{k+N}) = X(\omega_k)$
- 共役対称性：実数列に対し$X(\omega_{N-k}) = \overline{X(\omega_k)}$
- Parseval恒等式：$\sum_{t=0}^{N-1} |x_t|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X(\omega_k)|^2$
ペリオドグラムの定義と性質
Step 2: スペクトル密度の推定量
ペリオドグラムの定義：
$I(\omega_k) = \frac{1}{N} |X(\omega_k)|^2 = \frac{1}{N} \left| \sum_{t=0}^{N-1} x_t e^{-i\omega_k t} \right|^2$
物理的解釈：
- 周波数$\omega_k$におけるパワー密度の推定値
- $X(\omega_k)$の振幅の二乗を標本サイズで正規化
- 信号の総エネルギーの周波数別分布
標本スペクトル密度との関係：
真のスペクトル密度$f(\omega)$に対して、ペリオドグラムは不偏推定量：
$E[I(\omega)] = f(\omega) + O(N^{-1})$
ペリオドグラムの統計的性質
| 性質 | 数学的表現 | 意味 |
|---|
| 不偏性 | $E[I(\omega)] \approx f(\omega)$ | 平均的に真値を推定 |
| 非一致性 | $\text{Var}(I(\omega)) \not\to 0$ | $N$増加でも分散減少せず |
| 漸近分布 | $\frac{2I(\omega)}{f(\omega)} \sim \chi^2_2$ | 自由度2のカイ二乗分布 |
| 解像度 | $\Delta\omega = \frac{2\pi}{N}$ | 周波数分解能 |
正規化係数の意味と重要性
Step 3: なぜ$1/N$なのか
エネルギー保存の観点：
Parseval恒等式により、時間領域と周波数領域のエネルギーが等しくなるよう正規化：
$\sum_{t=0}^{N-1} |x_t|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X(\omega_k)|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} I(\omega_k)$
スペクトル密度推定の観点：
連続時間プロセスのスペクトル密度$f(\omega)$に対して：
$\int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega = \gamma(0) = \text{Var}(X_t)$
離散化により：
$\frac{2\pi}{N} \sum_{k=0}^{N-1} I(\omega_k) \approx \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega$
これにより$I(\omega_k)$がスペクトル密度の適切な推定量となります。
異なる正規化の比較
| 正規化 | 定義 | 用途 |
|---|
| $1/N$ | スペクトル密度推定 | 統計的スペクトル解析 |
| $1/N^2$ | 振幅スペクトル密度 | 信号処理の一部 |
| $1$ | パワースペクトラム | 工学的応用 |
| $1/\sqrt{N}$ | 正規化パワー | 特殊な応用 |
具体的計算例
Step 4: $N=8$での詳細計算
基本周波数の設定：
$\omega_k = \frac{2\pi k}{8} = \frac{\pi k}{4}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 7$
各周波数での計算：
- $\omega_0 = 0$ （DC成分）
- $\omega_1 = \pi/4$
- $\omega_2 = \pi/2$
- $\omega_3 = 3\pi/4$
- $\omega_4 = \pi$ （ナイキスト周波数）
- $\omega_5 = 5\pi/4$ （$= -3\pi/4$）
- $\omega_6 = 3\pi/2$ （$= -\pi/2$）
- $\omega_7 = 7\pi/4$ （$= -\pi/4$）
DFTの計算：
$X(\omega_k) = \sum_{t=0}^{7} x_t e^{-i\pi kt/4}$
例：$k=1$の場合
$X(\omega_1) = x_0 + x_1 e^{-i\pi/4} + x_2 e^{-i\pi/2} + x_3 e^{-i3\pi/4} + x_4 e^{-i\pi} + x_5 e^{-i5\pi/4} + x_6 e^{-i3\pi/2} + x_7 e^{-i7\pi/4}$
Euler公式による実計算
$e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$を使用：
- $e^{-i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$
- $e^{-i\pi/2} = -i$
- $e^{-i3\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)$
- $e^{-i\pi} = -1$
- $e^{-i5\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$
- $e^{-i3\pi/2} = i$
- $e^{-i7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$