<h4>スペクトラム密度関数：周波数領域での時系列解析</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>スペクトラム解析の理論的基礎</div><p>スペクトラム密度関数は、時系列の周波数成分のパワー分布を表す基本概念で、自己共分散関数のフーリエ変換として定義されます。AR過程のスペクトラムは解析的に求めることができ、システムの動的特性、安定性、周期的行動を理解する上で重要な指標となります。</p></div><h4>AR(2)過程の基本構造</h4><p class='step'><strong>Step 1: モデルの確認と定常性</strong></p><p>与えられたAR(2)過程：</p><div class='formula'>$X_t = 0.5X_{t-1} - 0.06X_{t-2} + \epsilon_t
lt;/div><p><strong>特性方程式による定常性チェック：</strong></p><div class='formula'>$1 - 0.5z + 0.06z^2 = 0
lt;/div><p>判別式：$D = 0.25 - 4(0.06) = 0.25 - 0.24 = 0.01 > 0
lt;/p><p>根：$z = \frac{0.5 \pm \sqrt{0.01}}{0.12} = \frac{0.5 \pm 0.1}{0.12}
lt;/p><ul><li>$z_1 = \frac{0.6}{0.12} = 5 > 1$ ✓</li><li>$z_2 = \frac{0.4}{0.12} = 3.33 > 1$ ✓</li></ul><p>両根とも単位円の外側にあるため、過程は定常です。</p><h4>スペクトラム密度の理論的導出</h4><p class='step'><strong>Step 2: 一般的なAR(p)過程のスペクトラム</strong></p><p><strong>AR(p)過程の一般形：</strong></p><div class='formula'>$\phi(L)X_t = \epsilon_t
lt;/div><p>ここで、$\phi(L) = 1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p
lt;/p><p><strong>スペクトラム密度の公式：</strong></p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{|\phi(e^{-i\omega})|^2}
lt;/div><p>この公式は、AR多項式の周波数応答の逆数に比例することを示しています。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>導出の数学的基礎</div><p>AR過程をMA無限表現で表すと：</p><div class='formula'>$X_t = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j} = \psi(L)\epsilon_t
lt;/div><p>ここで、$\psi(L) = \phi(L)^{-1}
lt;/p><p>スペクトラム密度は：</p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} |\psi(e^{-i\omega})|^2 = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{|\phi(e^{-i\omega})|^2}
lt;/div></div><h4>AR(2)過程の具体的計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: 周波数応答関数の計算</strong></p><p><strong>AR(2)多項式：</strong></p><div class='formula'>$\phi(L) = 1 - 0.5L + 0.06L^2
lt;/div><p><strong>周波数 $\omega$ での評価：</strong></p><div class='formula'>$\phi(e^{-i\omega}) = 1 - 0.5e^{-i\omega} + 0.06e^{-2i\omega}
lt;/div><p><strong>絶対値の二乗：</strong></p><div class='formula'>$|\phi(e^{-i\omega})|^2 = \phi(e^{-i\omega}) \overline{\phi(e^{-i\omega})}
lt;/div><p>ここで、$\overline{\phi(e^{-i\omega})} = 1 - 0.5e^{i\omega} + 0.06e^{2i\omega}
lt;/p><p><strong>展開計算：</strong></p><div class='formula'>$|\phi(e^{-i\omega})|^2 = (1 - 0.5\cos\omega + 0.06\cos(2\omega))^2 + (0.5\sin\omega - 0.06\sin(2\omega))^2
lt;/div><p><strong>最終的なスペクトラム密度：</strong></p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi|1 - 0.5e^{-i\omega} + 0.06e^{-2i\omega}|^2}
lt;/div><h4>スペクトラムの形状と解釈</h4><p class='step'><strong>Step 4: 周波数特性の分析</strong></p><p><strong>特定周波数での評価：</strong></p><ol><li><strong>$\omega = 0$ (DC成分)</strong>：<div class='formula'>$|\phi(1)|^2 = |1 - 0.5 + 0.06|^2 = 0.56^2 = 0.3136
lt;/div><div class='formula'>$f(0) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 0.3136} \approx 0.51\frac{\sigma^2}{\pi}
lt;/div></li><li><strong>$\omega = \pi$ (ナイキスト周波数)</strong>：<div class='formula'>$|\phi(-1)|^2 = |1 + 0.5 + 0.06|^2 = 1.56^2 = 2.4336
lt;/div><div class='formula'>$f(\pi) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 2.4336} \approx 0.065\frac{\sigma^2}{\pi}
lt;/div></li></ol><div class='key-point'><div class='key-point-title'>AR(2)スペクトラムの特徴</div><ul><li><strong>低周波数でのパワー集中</strong>：$f(0) > f(\pi)
lt;/li><li><strong>平滑な減衰</strong>：実根なので振動的特徴はない</li><li><strong>記憶効果</strong>：正の自己相関によるスペクトラムの偏り</li></ul></div><p class='step'><strong>Step 6: 具体的周波数での計算</strong></p><p><strong>$\omega = \pi/2$ での検証：</strong></p><div class='formula'>$e^{-i\pi/2} = -i, \quad e^{-i\pi} = -1
lt;/div><div class='formula'>$\phi(-i) = 1 - 0.5(-i) + 0.06(-1) = 1 + 0.5i - 0.06 = 0.94 + 0.5i
lt;/div><div class='formula'>$|\phi(-i)|^2 = 0.94^2 + 0.5^2 = 0.8836 + 0.25 = 1.1336
lt;/div><div class='formula'>$f(\pi/2) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 1.1336} \approx 0.141\frac{\sigma^2}{\pi}
lt;/div>