スペクトラム密度関数：周波数領域での時系列解析
スペクトラム解析の理論的基礎
スペクトラム密度関数は、時系列の周波数成分のパワー分布を表す基本概念で、自己共分散関数のフーリエ変換として定義されます。AR過程のスペクトラムは解析的に求めることができ、システムの動的特性、安定性、周期的行動を理解する上で重要な指標となります。
AR(2)過程の基本構造
Step 1: モデルの確認と定常性
与えられたAR(2)過程：
$X_t = 0.5X_{t-1} - 0.06X_{t-2} + \epsilon_t$
特性方程式による定常性チェック：
$1 - 0.5z + 0.06z^2 = 0$
判別式：$D = 0.25 - 4(0.06) = 0.25 - 0.24 = 0.01 > 0$
根：$z = \frac{0.5 \pm \sqrt{0.01}}{0.12} = \frac{0.5 \pm 0.1}{0.12}$
- $z_1 = \frac{0.6}{0.12} = 5 > 1$ ✓
- $z_2 = \frac{0.4}{0.12} = 3.33 > 1$ ✓
両根とも単位円の外側にあるため、過程は定常です。
スペクトラム密度の理論的導出
Step 2: 一般的なAR(p)過程のスペクトラム
AR(p)過程の一般形：
$\phi(L)X_t = \epsilon_t$
ここで、$\phi(L) = 1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p$
スペクトラム密度の公式：
$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{|\phi(e^{-i\omega})|^2}$
この公式は、AR多項式の周波数応答の逆数に比例することを示しています。
導出の数学的基礎
AR過程をMA無限表現で表すと：
$X_t = \sum_{j=0}^{\infty} \psi_j \epsilon_{t-j} = \psi(L)\epsilon_t$
ここで、$\psi(L) = \phi(L)^{-1}$
スペクトラム密度は：
$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} |\psi(e^{-i\omega})|^2 = \frac{\sigma^2}{2\pi} \frac{1}{|\phi(e^{-i\omega})|^2}$
AR(2)過程の具体的計算
Step 3: 周波数応答関数の計算
AR(2)多項式：
$\phi(L) = 1 - 0.5L + 0.06L^2$
周波数 $\omega$ での評価：
$\phi(e^{-i\omega}) = 1 - 0.5e^{-i\omega} + 0.06e^{-2i\omega}$
絶対値の二乗：
$|\phi(e^{-i\omega})|^2 = \phi(e^{-i\omega}) \overline{\phi(e^{-i\omega})}$
ここで、$\overline{\phi(e^{-i\omega})} = 1 - 0.5e^{i\omega} + 0.06e^{2i\omega}$
展開計算：
$|\phi(e^{-i\omega})|^2 = (1 - 0.5\cos\omega + 0.06\cos(2\omega))^2 + (0.5\sin\omega - 0.06\sin(2\omega))^2$
最終的なスペクトラム密度：
$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi|1 - 0.5e^{-i\omega} + 0.06e^{-2i\omega}|^2}$
スペクトラムの形状と解釈
Step 4: 周波数特性の分析
特定周波数での評価：
- $\omega = 0$ (DC成分)：
$|\phi(1)|^2 = |1 - 0.5 + 0.06|^2 = 0.56^2 = 0.3136$
$f(0) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 0.3136} \approx 0.51\frac{\sigma^2}{\pi}$
- $\omega = \pi$ (ナイキスト周波数)：
$|\phi(-1)|^2 = |1 + 0.5 + 0.06|^2 = 1.56^2 = 2.4336$
$f(\pi) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 2.4336} \approx 0.065\frac{\sigma^2}{\pi}$
AR(2)スペクトラムの特徴
- 低周波数でのパワー集中：$f(0) > f(\pi)$
- 平滑な減衰：実根なので振動的特徴はない
- 記憶効果：正の自己相関によるスペクトラムの偏り
Step 6: 具体的周波数での計算
$\omega = \pi/2$ での検証：
$e^{-i\pi/2} = -i, \quad e^{-i\pi} = -1$
$\phi(-i) = 1 - 0.5(-i) + 0.06(-1) = 1 + 0.5i - 0.06 = 0.94 + 0.5i$
$|\phi(-i)|^2 = 0.94^2 + 0.5^2 = 0.8836 + 0.25 = 1.1336$
$f(\pi/2) = \frac{\sigma^2}{2\pi \times 1.1336} \approx 0.141\frac{\sigma^2}{\pi}$