<h4>状態空間モデル：現代時系列解析の統一フレームワーク</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>状態空間モデルの革新性</div><p>状態空間モデル（State Space Model）は、Kalman（1960）によって開発された画期的なフレームワークで、観測されない潜在状態の動学と観測データの関係を同時にモデル化します。制御工学から始まり、経済学、ファイナンス、生物統計学、機械学習まで幅広い分野で中核的な役割を果たしています。ARIMA、回帰、構造時系列モデルなど多様なモデルを統一的に表現でき、missing dataや不規則観測にも対応可能な柔軟なフレームワークです。</p></div><h4>状態空間モデルの基本構造</h4><p class='step'><strong>Step 1: 2つの基本方程式</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>状態空間モデルの定義</div><p><strong>観測方程式（Observation/Measurement Equation）：</strong></p><div class='formula'>$\mathbf{y}_t = \mathbf{H}_t \boldsymbol{\alpha}_t + \boldsymbol{\epsilon}_t, \quad \boldsymbol{\epsilon}_t \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{R}_t)
lt;/div><p><strong>状態方程式（State/Transition Equation）：</strong></p><div class='formula'>$\boldsymbol{\alpha}_t = \mathbf{F}_t \boldsymbol{\alpha}_{t-1} + \boldsymbol{\eta}_t, \quad \boldsymbol{\eta}_t \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{Q}_t)
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\mathbf{y}_t$：観測ベクトル（$p \times 1$）</li><li>$\boldsymbol{\alpha}_t$：状態ベクトル（$m \times 1$）</li><li>$\mathbf{H}_t$：観測行列（$p \times m$）</li><li>$\mathbf{F}_t$：状態遷移行列（$m \times m$）</li><li>$\mathbf{R}_t$：観測誤差分散行列（$p \times p$）</li><li>$\mathbf{Q}_t$：状態誤差分散行列（$m \times m$）</li></ul></div><h4>線形ガウシアン状態空間モデル（LGSSM）</h4><p class='step'><strong>Step 2: 古典的LGSSMの特徴</strong></p><p><strong>基本仮定：</strong></p><ol><li><strong>線形性</strong>：すべての関係が線形</li><li><strong>ガウス性</strong>：すべての誤差項が正規分布</li><li><strong>独立性</strong>：$E[\boldsymbol{\epsilon}_t \boldsymbol{\eta}_s^T] = \mathbf{0}$ for all $t, s
lt;/li><li><strong>初期条件</strong>：$\boldsymbol{\alpha}_0 \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_0, \mathbf{P}_0)
lt;/li></ol><p><strong>LGSSM の利点：</strong></p><ul><li>カルマンフィルタによる最適フィルタリング</li><li>解析的な予測・平滑化</li><li>尤度の効率的計算</li><li>理論的性質の明確性</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>LGSSMの最適性</div><p>線形ガウシアン仮定下では、カルマンフィルタは以下の意味で最適です：</p><ol><li><strong>平均二乗誤差最小</strong>：$E[\|\boldsymbol{\alpha}_t - \hat{\boldsymbol{\alpha}}_{t|t}\|^2]$を最小化</li><li><strong>最尤推定</strong>：観測データの尤度を最大化</li><li><strong>ベイズ最適</strong>：事後分布を正確に計算</li><li><strong>線形最小分散不偏推定（BLUE）</strong></li></ol></div><h4>非線形・非ガウシアン拡張</h4><p class='step'><strong>Step 3: モデルの一般化</strong></p><p><strong>1. 非線形状態空間モデル：</strong></p><div class='formula'>$\mathbf{y}_t = \mathbf{h}(\boldsymbol{\alpha}_t, \mathbf{u}_t) + \boldsymbol{\epsilon}_t
lt;/div><div class='formula'>$\boldsymbol{\alpha}_t = \mathbf{f}(\boldsymbol{\alpha}_{t-1}, \mathbf{v}_t) + \boldsymbol{\eta}_t
lt;/div><p>ここで、$\mathbf{h}(\cdot)$、$\mathbf{f}(\cdot)$は非線形関数</p><p><strong>2. 非ガウシアン分布：</strong></p><ul><li>$t$分布（頑健性向上）</li><li>混合正規分布（多峰性モデリング）</li><li>指数分布族（GLM との統合）</li><li>スキュー分布（非対称性の取り込み）</li></ul><p><strong>3. 時変係数モデル：</strong></p><div class='formula'>$\mathbf{F}_t = \mathbf{F}(\boldsymbol{\theta}_t), \quad \mathbf{H}_t = \mathbf{H}(\boldsymbol{\xi}_t)
lt;/div><p>パラメータ自体が時間変化する dynamic parameter モデル</p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>拡張タイプ</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>推定手法</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>適用例</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>非線形</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>EKF, UKF, PF</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ファイナンス、生態学</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>非ガウシアン</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>粒子フィルタ、MCMC</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>リスク管理、品質管理</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>時変パラメータ</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>TVP-SVM、DLM</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>経済政策、気候変動</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>混合モデル</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>IMM、RJMCMC</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>レジーム・スイッチング</td></tr></table><h4>状態空間表現の統一性</h4><p class='step'><strong>Step 4: 様々な時系列モデルの統一表現</strong></p><p><strong>1. ARIMA(p,d,q) モデル：</strong></p><p>$\text{ARIMA}(2,1,1): (1-\phi_1 L - \phi_2 L^2)(1-L)y_t = (1+\theta_1 L)\epsilon_t
lt;/p><p><strong>状態空間表現：</strong></p><div class='formula'>$\boldsymbol{\alpha}_t = \begin{pmatrix} \alpha_{1t} \\ \alpha_{2t} \\ \alpha_{3t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi_1+1 & \phi_2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,t-1} \\ \alpha_{2,t-1} \\ \alpha_{3,t-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \epsilon_t
lt;/div><div class='formula'>$y_t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \theta_1 \end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_t
lt;/div><p><strong>2. 構造時系列モデル：</strong></p><p>$y_t = \mu_t + \gamma_t + \epsilon_t$ （レベル＋季節成分）</p><div class='formula'>$\begin{pmatrix} \mu_t \\ \gamma_t \\ \vdots \\ \gamma_{t-s+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & -1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mu_{t-1} \\ \gamma_{t-1} \\ \vdots \\ \gamma_{t-s} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \eta_{\mu,t} \\ \eta_{\gamma,t} \\ 0 \\ \vdots \end{pmatrix}
lt;/div><p><strong>3. 時変係数回帰：</strong></p><p>$y_t = \mathbf{x}_t^T \boldsymbol{\beta}_t + \epsilon_t$, $\boldsymbol{\beta}_t = \boldsymbol{\beta}_{t-1} + \boldsymbol{\eta}_t
lt;/p><div class='formula'>$\mathbf{H}_t = \mathbf{x}_t^T, \quad \boldsymbol{\alpha}_t = \boldsymbol{\beta}_t, \quad \mathbf{F}_t = \mathbf{I}
lt;/div><h4>観測・状態の次元性</h4><p class='step'><strong>Step 5: 多変量・高次元への拡張</strong></p><p><strong>観測次元の拡張：</strong></p><div class='formula'>$\mathbf{y}_t = \begin{pmatrix} y_{1t} \\ y_{2t} \\ \vdots \\ y_{pt} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{H}_t = \begin{pmatrix} h_{11,t} & h_{12,t} & \cdots & h_{1m,t} \\ h_{21,t} & h_{22,t} & \cdots & h_{2m,t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{p1,t} & h_{p2,t} & \cdots & h_{pm,t} \end{pmatrix}
lt;/div><p><strong>状態次元の選択：</strong></p><ul><li><strong>最小実現</strong>：必要最小限の状態数</li><li><strong>可観測性</strong>：$(\mathbf{H}_t, \mathbf{F}_t)$ の可観測ペア条件</li><li><strong>可制御性</strong>：$(\mathbf{F}_t, \mathbf{Q}_t^{1/2})$ の可制御ペア条件</li></ul><p><strong>高次元状態空間での課題：</strong></p><ol><li><strong>計算複雑性</strong>：$O(m^3)$ の行列演算</li><li><strong>数値安定性</strong>：条件数・特異値の管理</li><li><strong>identifiability</strong>：パラメータの識別可能性</li><li><strong>curse of dimensionality</strong>：高次元での推定精度</li></ol><h4>状態空間モデルの推定手法</h4><p class='step'><strong>Step 6: パラメータ推定の多様性</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>主要推定手法</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>手法</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>適用範囲</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特徴</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>最尤法+カルマンフィルタ</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>線形ガウシアン</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>解析的、高速</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>EMアルゴリズム</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>欠測値、潜在変数</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>収束保証、安定</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>拡張カルマンフィルタ</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>弱非線形</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>一次近似、高速</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>無香料カルマンフィルタ</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>中程度非線形</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>高次精度、決定論的</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>粒子フィルタ</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>強非線形・非ガウシアン</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>汎用、計算集約</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>MCMC</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ベイズ推定</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>不確実性定量化</td></tr></table></div><h4>選択肢の詳細</h4><p class='step'><strong>Step 9: 各選択肢の理論的検討</strong></p><p><strong>選択肢A: 観測可能な状態変数のみで構成される</strong></p><ul><li>❌ 根本的誤解：状態空間モデルの本質は <strong>潜在状態</strong> のモデリング</li><li>❌ 観測されない状態$\boldsymbol{\alpha}_t$が中核概念</li><li>❌ もし状態が観測可能なら通常の回帰モデルで十分</li></ul><p><strong>選択肢B: 線形ガウシアンモデルに限定される</strong></p><ul><li>❌ 歴史的制限：初期は線形ガウシアンが主流</li><li>❌ 現在は非線形・非ガウシアンモデルが主要な研究領域</li><li>❌ 粒子フィルタ、深層学習との統合で拡張済み</li></ul><p><strong>選択肢C: 観測方程式と状態方程式の2つの方程式で構成される</strong></p><ul><li>✓ 正確な定義：これが状態空間モデルの基本構造</li><li>✓ 観測方程式：潜在状態と観測値の関係</li><li>✓ 状態方程式：潜在状態の時間発展</li><li>✓ この2方程式構造がフレームワークの核心</li></ul><p><strong>選択肢D: 時不変パラメータのみを扱う</strong></p><ul><li>❌ 柔軟性の否定：時変パラメータモデルは重要な拡張</li><li>❌ TVP-SSM、構造変化モデルなど活発な研究領域</li><li>❌ 実際の経済・社会現象は時変性を持つ場合が多い</li></ul><h4>状態空間モデルの理論的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 10: 確率論的基礎</strong></p><p><strong>マルコフ性：</strong></p><div class='formula'>$p(\boldsymbol{\alpha}_t | \boldsymbol{\alpha}_{t-1}, \boldsymbol{\alpha}_{t-2}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_1) = p(\boldsymbol{\alpha}_t | \boldsymbol{\alpha}_{t-1})
lt;/div><p><strong>条件付き独立性：</strong></p><div class='formula'>$p(\mathbf{y}_t | \boldsymbol{\alpha}_t, \mathbf{y}_{t-1}, \ldots, \mathbf{y}_1) = p(\mathbf{y}_t | \boldsymbol{\alpha}_t)
lt;/div><p><strong>結合分布の分解：</strong></p><div class='formula'>$p(\mathbf{y}_{1:T}, \boldsymbol{\alpha}_{1:T}) = p(\boldsymbol{\alpha}_1) \prod_{t=2}^T p(\boldsymbol{\alpha}_t | \boldsymbol{\alpha}_{t-1}) \prod_{t=1}^T p(\mathbf{y}_t | \boldsymbol{\alpha}_t)
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>状態空間モデルの確率構造</div><p>この確率構造により以下が可能になります：</p><ol><li><strong>フィルタリング</strong>：$p(\boldsymbol{\alpha}_t | \mathbf{y}_{1:t})$ の計算</li><li><strong>予測</strong>：$p(\mathbf{y}_{t+h} | \mathbf{y}_{1:t})$ の導出</li><li><strong>平滑化</strong>：$p(\boldsymbol{\alpha}_t | \mathbf{y}_{1:T})$ の推定</li><li><strong>尤度計算</strong>：$p(\mathbf{y}_{1:T})$ によるモデル選択</li></ol></div><p>したがって、正解は<strong>「観測方程式と状態方程式の2つの方程式で構成される」</strong>です。この2方程式構造こそが状態空間モデルの定義的特徴であり、観測されない潜在状態の動学（状態方程式）と観測データとの関係（観測方程式）を同時にモデル化する革新的フレームワークの本質を表現しています。</p>