ダービンワトソン検定：系列相関の診断ツール
ダービンワトソン検定の重要性
ダービンワトソン（Durbin-Watson）検定は、James Durbin と Geoffrey Watson（1950, 1951）によって開発された、回帰残差における1次の系列相関を検定する古典的手法です。計量経済学において最も広く使用される診断検定の一つで、OLS推定の前提条件である誤差項の無相関性を検証します。系列相関の存在は、標準誤差の過小推定、検定統計量の信頼性低下、効率性の損失をもたらすため、その検出は実証分析において重要です。
ダービンワトソン統計量の定義
Step 1: DW統計量の数学的定義
ダービンワトソン統計量：
$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}$
ここで：
- $e_t$：回帰残差
- $n$：観測数
- 分子：隣接残差の差の平方和
- 分母：残差の平方和
DW統計量の理論的基礎
DW統計量は、残差の1次系列相関係数 $\hat{\rho}_1$ と密接に関連：
$DW \approx 2(1 - \hat{\rho}_1)$
ここで、$\hat{\rho}_1 = \frac{\sum_{t=2}^{n} e_t e_{t-1}}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}$
この関係により：
- $\hat{\rho}_1 = 0$ (無相関) → $DW \approx 2$
- $\hat{\rho}_1 = 1$ (完全正の相関) → $DW \approx 0$
- $\hat{\rho}_1 = -1$ (完全負の相関) → $DW \approx 4$
具体的計算：Step-by-Step
Step 2: 与えられたデータでの計算
残差データ：$\{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} = \{0.8, -0.5, 0.3, -0.2, 0.6\}$
分子の計算：$\sum_{t=2}^{5} (e_t - e_{t-1})^2$
| $t$ | $e_t$ | $e_{t-1}$ | $e_t - e_{t-1}$ | $(e_t - e_{t-1})^2$ |
|---|
| 2 | -0.5 | 0.8 | -1.3 | 1.69 |
| 3 | 0.3 | -0.5 | 0.8 | 0.64 |
| 4 | -0.2 | 0.3 | -0.5 | 0.25 |
| 5 | 0.6 | -0.2 | 0.8 | 0.64 |
分子 = $1.69 + 0.64 + 0.25 + 0.64 = 3.22$
分母の計算：$\sum_{t=1}^{5} e_t^2$
| $t$ | $e_t$ | $e_t^2$ |
|---|
| 1 | 0.8 | 0.64 |
| 2 | -0.5 | 0.25 |
| 3 | 0.3 | 0.09 |
| 4 | -0.2 | 0.04 |
| 5 | 0.6 | 0.36 |
分母 = $0.64 + 0.25 + 0.09 + 0.04 + 0.36 = 1.38$
DW統計量の計算：
$DW = \frac{3.22}{1.38} \approx 2.33$
DW統計量の判定区間
DW統計量は理論的には $0 \leq DW \leq 4$ の範囲を取り：
| DW値の範囲 | 判定 | 系列相関の性質 |
|---|
| $0 \leq DW < d_L$ | 正の系列相関あり | $H_0$棄却 |
| $d_L \leq DW \leq d_U$ | 判定不能 | 不確定領域 |
| $d_U < DW < 4-d_U$ | 系列相関なし | $H_0$採択 |
| $4-d_U \leq DW \leq 4-d_L$ | 判定不能 | 不確定領域 |
| $4-d_L < DW \leq 4$ | 負の系列相関あり | $H_0$棄却 |
ここで、$d_L$（下側臨界値）と$d_U$（上側臨界値）は標本サイズと説明変数数に依存
DW検定の理論的背景
Step 5: 検定の前提と限界
DW検定の前提条件：
- 線形回帰モデル
- 誤差項が正規分布に従う
- 説明変数が確定的（非確率的）
- 定数項を含む回帰式
- 1次の系列相関のみを検定対象
DW検定の限界：
- ラグ従属変数：$y_{t-1}$が説明変数に含まれる場合は使用不可
- 高次系列相関：AR(2)以上の系列相関は検出困難
- 季節系列相関：季節性のある系列相関は対象外
- 不確定領域：明確な判定ができない範囲の存在