時系列解析

<h4>ダービンワトソン検定：系列相関の診断ツール</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ダービンワトソン検定の重要性</div><p>ダービンワトソン（Durbin-Watson）検定は、James Durbin と Geoffrey Watson（1950, 1951）によって開発された、回帰残差における1次の系列相関を検定する古典的手法です。計量経済学において最も広く使用される診断検定の一つで、OLS推定の前提条件である誤差項の無相関性を検証します。系列相関の存在は、標準誤差の過小推定、検定統計量の信頼性低下、効率性の損失をもたらすため、その検出は実証分析において重要です。</p></div><h4>ダービンワトソン統計量の定義</h4><p class='step'><strong>Step 1: DW統計量の数学的定義</strong></p><p><strong>ダービンワトソン統計量：</strong></p><div class='formula'>$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$e_t$：回帰残差</li><li>$n$：観測数</li><li>分子：隣接残差の差の平方和</li><li>分母：残差の平方和</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>DW統計量の理論的基礎</div><p>DW統計量は、残差の1次系列相関係数 $\hat{\rho}_1$ と密接に関連：</p><div class='formula'>$DW \approx 2(1 - \hat{\rho}_1)lt;/div><p>ここで、$\hat{\rho}_1 = \frac{\sum_{t=2}^{n} e_t e_{t-1}}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2}lt;/p><p>この関係により：</p><ul><li>$\hat{\rho}_1 = 0$ (無相関) → $DW \approx 2lt;/li><li>$\hat{\rho}_1 = 1$ (完全正の相関) → $DW \approx 0lt;/li><li>$\hat{\rho}_1 = -1$ (完全負の相関) → $DW \approx 4lt;/li></ul></div><h4>具体的計算：Step-by-Step</h4><p class='step'><strong>Step 2: 与えられたデータでの計算</strong></p><p>残差データ：$\{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\} = \{0.8, -0.5, 0.3, -0.2, 0.6\}lt;/p><p><strong>分子の計算：$\sum_{t=2}^{5} (e_t - e_{t-1})^2lt;/strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$tlt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$e_tlt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$e_{t-1}lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$e_t - e_{t-1}lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$(e_t - e_{t-1})^2lt;/th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.8</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-1.3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1.69</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.8</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.64</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>4</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.25</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.6</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.8</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.64</td></tr></table><p>分子 = $1.69 + 0.64 + 0.25 + 0.64 = 3.22lt;/p><p><strong>分母の計算：$\sum_{t=1}^{5} e_t^2lt;/strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$tlt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$e_tlt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$e_t^2lt;/th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.8</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.64</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.25</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.3</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.09</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>4</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>-0.2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.04</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>5</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.6</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.36</td></tr></table><p>分母 = $0.64 + 0.25 + 0.09 + 0.04 + 0.36 = 1.38lt;/p><p><strong>DW統計量の計算：</strong></p><div class='formula'>$DW = \frac{3.22}{1.38} \approx 2.33lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>DW統計量の判定区間</div><p>DW統計量は理論的には $0 \leq DW \leq 4$ の範囲を取り：</p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>DW値の範囲</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>判定</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>系列相関の性質</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$0 \leq DW < d_Llt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>正の系列相関あり</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$H_0$棄却</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$d_L \leq DW \leq d_Ult;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>判定不能</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>不確定領域</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$d_U < DW < 4-d_Ult;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>系列相関なし</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$H_0$採択</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$4-d_U \leq DW \leq 4-d_Llt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>判定不能</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>不確定領域</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$4-d_L < DW \leq 4lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>負の系列相関あり</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$H_0$棄却</td></tr></table><p>ここで、$d_L$（下側臨界値）と$d_U$（上側臨界値）は標本サイズと説明変数数に依存</p></div><h4>DW検定の理論的背景</h4><p class='step'><strong>Step 5: 検定の前提と限界</strong></p><p><strong>DW検定の前提条件：</strong></p><ol><li>線形回帰モデル</li><li>誤差項が正規分布に従う</li><li>説明変数が確定的（非確率的）</li><li>定数項を含む回帰式</li><li>1次の系列相関のみを検定対象</li></ol><p><strong>DW検定の限界：</strong></p><ul><li><strong>ラグ従属変数</strong>：$y_{t-1}$が説明変数に含まれる場合は使用不可</li><li><strong>高次系列相関</strong>：AR(2)以上の系列相関は検出困難</li><li><strong>季節系列相関</strong>：季節性のある系列相関は対象外</li><li><strong>不確定領域</strong>：明確な判定ができない範囲の存在</li></ul>