一般化線形モデル（GLM）の基本概念
一般化線形モデルは、線形回帰を拡張したモデルで、目的変数が指数族分布に従う場合に適用されます。
GLMの3つの構成要素
- 確率分布：指数族分布（正規、ポアソン、二項分布など）
- 線形予測子：$\\eta = \\mathbf{x}^T\\boldsymbol{\\beta}$
- リンク関数：$g(\\mu) = \\eta$ により期待値と線形予測子を結ぶ
Step 1: ポアソン分布のGLM
ポアソン分布を仮定したGLMでは：
- 確率分布：$Y \\sim \\text{Poisson}(\\mu)$
- 期待値：$E[Y] = \\mu$
- 分散：$\\text{Var}(Y) = \\mu$
- 自然リンク関数：$g(\\mu) = \\log(\\mu)$
Step 2: リンク関数と逆リンク関数
対数リンク関数の場合：
$$g(\\mu) = \\log(\\mu) = \\eta$$
逆リンク関数（応答関数）：
$$\\mu = g^{-1}(\\eta) = \\exp(\\eta)$$
これにより、線形予測子から期待値を計算できます。
Step 3: 与えられた線形予測子の処理
問題の設定：
- $\\eta_1 = 1.0$
- $\\eta_2 = 1.5$
逆リンク関数を適用：
$$\\mu_1 = \\exp(\\eta_1) = \\exp(1.0) = e^1 \\approx 2.718$$
$$\\mu_2 = \\exp(\\eta_2) = \\exp(1.5) = e^{1.5} \\approx 4.482$$
Step 4: 期待値の比の計算
$$\\frac{\\mu_2}{\\mu_1} = \\frac{\\exp(1.5)}{\\exp(1.0)} = \\exp(1.5 - 1.0) = \\exp(0.5)$$
$$= e^{0.5} \\approx 1.649$$
約1.65となります。
対数リンク関数の性質
対数リンク関数を使用する場合の性質：
- 乗法的効果：線形予測子の差は期待値の比の対数
- 指数変換：$\\mu = \\exp(\\eta)$ により常に正の値
- 比例性：$\\eta$ の単位増加で $\\mu$ は $e$ 倍に増加
Step 5: 結果の検証
計算の確認：
$$e^{0.5} = \\sqrt{e} \\approx \\sqrt{2.718} \\approx 1.649$$
選択肢の中では「約1.65」が最も近い値です。
Step 6: GLMにおける推定と診断
GLMの推定手法
- 最尤推定：反復重み付き最小二乗法（IRLS）
- 偏差度：$D = 2[\\ell(\\hat{\\mu}_{sat}) - \\ell(\\hat{\\mu})]$
- 情報量基準：AIC, BIC による モデル選択
- 残差分析：Pearson残差、deviance残差
Step 7: ポアソン回帰の応用例
ポアソン回帰は以下の場面で使用されます：
- カウントデータ：事故件数、販売個数など
- 頻度データ：単位時間・面積あたりの発生回数
- 稀な事象：疾病の発症率、故障率など
Step 8: 過分散への対応
ポアソン分布では平均と分散が等しいと仮定しますが、実際のデータでは過分散（分散 > 平均）が起こることがあります。この場合：
- 準ポアソン回帰：分散を $\\phi \\mu$ に調整
- 負の二項回帰：ガンマ混合ポアソン分布
- ゼロ過剰モデル：ゼロが多い場合の拡張
GLMの利点
- 柔軟性：様々な分布に対応
- 解釈性：線形予測子による説明変数の効果
- 理論的基盤：最尤推定の性質を利用
- 診断手法：豊富な適合度検定と残差分析