回帰分析

線形回帰、一般化線形モデル、ロジスティック回帰、モデル選択など統計検定準1級レベルの回帰分析理論

一般化線形モデルの応用レベル2

ポアソン分布を仮定した一般化線形モデル（GLM）で、リンク関数が対数関数である場合を考える。線形予測子が $\eta_1 = 1.0$、$\eta_2 = 1.5$ の2つの観測について、対応する期待値 $\mu_1$、$\mu_2$ の比 $\mu_2 / \mu_1$ はいくらか。

解説

解答と解説を表示

一般化線形モデルは、線形回帰を拡張したモデルで、目的変数が指数族分布に従う場合に適用されます。

Step 1: ポアソン分布のGLM

ポアソン分布を仮定したGLMでは：

Step 2: リンク関数と逆リンク関数

対数リンク関数の場合：

$g(\mu) = \log(\mu) = \eta$

逆リンク関数（応答関数）：

$\mu = g^{-1}(\eta) = \exp(\eta)$

これにより、線形予測子から期待値を計算できます。

Step 3: 与えられた線形予測子の処理

問題の設定：

逆リンク関数を適用：

$\mu_1 = \exp(\eta_1) = \exp(1.0) = e^1 \approx 2.718$

$\mu_2 = \exp(\eta_2) = \exp(1.5) = e^{1.5} \approx 4.482$

Step 4: 期待値の比の計算

$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{\exp(1.5)}{\exp(1.0)} = \exp(1.5 - 1.0) = \exp(0.5)$

$= e^{0.5} \approx 1.649$

約1.65となります。

対数リンク関数を使用する場合の性質：

Step 5: 結果の検証

計算の確認：

$e^{0.5} = \sqrt{e} \approx \sqrt{2.718} \approx 1.649$

選択肢の中では「約1.65」が最も近い値です。

Step 6: GLMにおける推定と診断

Step 7: ポアソン回帰の応用例

ポアソン回帰は以下の場面で使用されます：

Step 8: 過分散への対応

ポアソン分布では平均と分散が等しいと仮定しますが、実際のデータでは過分散（分散 > 平均）が起こることがあります。この場合：

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