線形混合効果モデルとグループ内相関係数
線形混合効果モデル（Linear Mixed-Effects Model）は、固定効果とランダム効果を組み合わせたモデルで、階層データや縦断データの解析に用いられます。
線形混合効果モデルの基本構造
一般的な線形混合効果モデル：
$y_{ij} = \mathbf{x}_{ij}^T \boldsymbol{\beta} + \mathbf{z}_{ij}^T \mathbf{u}_i + \varepsilon_{ij}$
ここで：
- $y_{ij}$：グループ$i$の個体$j$の応答変数
- $\boldsymbol{\beta}$：固定効果パラメータ
- $\mathbf{u}_i$：グループ$i$のランダム効果
- $\varepsilon_{ij}$：個体レベルの誤差項
Step 1: 単純な混合効果モデル
問題で与えられたモデル：
$y_{ij} = \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_i + \varepsilon_{ij}$
このモデルの構成要素：
- $\beta_0 + \beta_1 x_{ij}$：固定効果（全グループ共通）
- $u_i$：グループ固有のランダム切片
- $\varepsilon_{ij}$：個体固有の誤差項
Step 2: 分散成分の仮定
ランダム効果と誤差項の分布：
$u_i \sim N(0, \sigma_u^2) \quad \text{（グループ間分散）}$
$\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma_e^2) \quad \text{（グループ内分散）}$
独立性の仮定：
- $u_i$ と $\varepsilon_{ij}$ は独立
- 異なるグループの $u_i$ は独立
- 同一グループ内の $\varepsilon_{ij}$ は独立
Step 3: 応答変数の分散分解
応答変数 $y_{ij}$ の分散：
$\text{Var}(y_{ij}) = \text{Var}(\beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_i + \varepsilon_{ij})$
固定効果は定数なので：
$\text{Var}(y_{ij}) = \text{Var}(u_i) + \text{Var}(\varepsilon_{ij}) = \sigma_u^2 + \sigma_e^2$
これは全分散を表します。
Step 4: 同一グループ内の共分散
同一グループ$i$内の2つの観測値 $y_{ij}$ と $y_{ik}$ の共分散：
$\text{Cov}(y_{ij}, y_{ik}) = \text{Cov}(u_i + \varepsilon_{ij}, u_i + \varepsilon_{ik})$
$= \text{Cov}(u_i, u_i) + \text{Cov}(u_i, \varepsilon_{ik}) + \text{Cov}(\varepsilon_{ij}, u_i) + \text{Cov}(\varepsilon_{ij}, \varepsilon_{ik})$
独立性の仮定により：
$\text{Cov}(y_{ij}, y_{ik}) = \text{Var}(u_i) = \sigma_u^2$
グループ内相関係数の定義
グループ内相関係数（Intraclass Correlation Coefficient, ICC）：
$\rho = \frac{\text{Cov}(y_{ij}, y_{ik})}{\sqrt{\text{Var}(y_{ij}) \cdot \text{Var}(y_{ik})}} = \frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2 + \sigma_e^2}$
これはグループ間分散が全分散に占める割合を表します。
Step 5: ICCの解釈
ICC = $\frac{\sigma_u^2}{\sigma_u^2 + \sigma_e^2}$ の意味：
- $\rho = 0$：グループ効果なし（$\sigma_u^2 = 0$）
- $\rho = 1$：グループ内で完全に相関（$\sigma_e^2 = 0$）
- $0 < \rho < 1$：グループ効果が存在
実際の解釈：
- 医学研究：同一患者の複数測定間の相関
- 教育研究：同一学級の生徒間の相関
- 組織研究：同一部署の従業員間の相関
Step 6: 分散成分推定
混合効果モデルの推定手法
- 制限最尤推定（REML）：分散成分の不偏推定
- 最尤推定（ML）：モデル比較に適用
- ベイズ推定：事前分布を考慮した推定
REML推定では以下を最適化：
$\ell_{REML}(\boldsymbol{\theta}) = -\frac{1}{2}\left[\log|\mathbf{V}| + \log|\mathbf{X}^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X}| + \mathbf{r}^T\mathbf{P}\mathbf{r}\right]$
ここで $\mathbf{V} = \sigma_u^2 \mathbf{Z}\mathbf{Z}^T + \sigma_e^2 \mathbf{I}$ は分散共分散行列
Step 7: モデル拡張
1. ランダム傾きモデル
$y_{ij} = (\beta_0 + u_{0i}) + (\beta_1 + u_{1i})x_{ij} + \varepsilon_{ij}$
ここで $\begin{pmatrix} u_{0i} \\ u_{1i} \end{pmatrix} \sim N\left(\mathbf{0}, \begin{pmatrix} \sigma_{u0}^2 & \sigma_{u01} \\ \sigma_{u01} & \sigma_{u1}^2 \end{pmatrix}\right)$
2. 非線形混合効果モデル
$y_{ij} = f(x_{ij}, \boldsymbol{\beta}, \mathbf{u}_i) + \varepsilon_{ij}$
3. 一般化線形混合モデル（GLMM）
$g(\mu_{ij}) = \mathbf{x}_{ij}^T \boldsymbol{\beta} + \mathbf{z}_{ij}^T \mathbf{u}_i$
Step 8: 実装と診断
混合効果モデルの診断
- ランダム効果の正規性：QQプロット、Shapiro-Wilk検定
- 残差の独立性：自己相関プロット、Durbin-Watson検定
- 分散の均質性：残差プロット、Levene検定
- モデル選択：AIC、BIC、尤度比検定