階層線形モデル（HLM）の構造と予測値計算
階層線形モデル（Hierarchical Linear Model, HLM）は、複数レベルの構造を持つデータを分析するための統計モデルです。教育、医学、組織研究など様々な分野で使用されます。
2レベル階層線形モデルの基本構造
レベル1（個体レベル）：
$$y_{ij} = \\beta_{0j} + \\beta_{1j}x_{ij} + r_{ij}$$
レベル2（グループレベル）：
$$\\beta_{0j} = \\gamma_{00} + \\gamma_{01}W_j + u_{0j}$$
$$\\beta_{1j} = \\gamma_{10} + \\gamma_{11}W_j + u_{1j}$$
Step 1: モデル成分の説明
レベル1モデルの構成要素：
- $y_{ij}$：グループ$j$の個体$i$の応答変数
- $\\beta_{0j}$：グループ$j$の切片
- $\\beta_{1j}$：グループ$j$の傾き
- $x_{ij}$：個体レベルの説明変数
- $r_{ij}$：個体レベルの誤差項
レベル2モデルの構成要素：
- $\\gamma_{00}$：全体の切片
- $\\gamma_{01}$：グループレベル変数$W_j$の切片への効果
- $\\gamma_{10}$：全体の傾き
- $\\gamma_{11}$：グループレベル変数$W_j$の傾きへの効果（本問では0）
- $u_{0j}, u_{1j}$：グループレベルのランダム効果
Step 2: 問題設定の確認
与えられた条件：
- $\\gamma_{00} = 10$（全体の切片）
- $\\gamma_{01} = 2$（$W_j$の切片への効果）
- $\\gamma_{10} = 3$（全体の傾き）
- $W_j = 1$（グループレベル変数）
- $x_{ij} = 2$（個体レベル変数）
本問のレベル2モデル：
$$\\beta_{0j} = \\gamma_{00} + \\gamma_{01}W_j + u_{0j} = 10 + 2W_j + u_{0j}$$
$$\\beta_{1j} = \\gamma_{10} + u_{1j} = 3 + u_{1j}$$
Step 3: グループ$j$の回帰係数計算
$W_j = 1$のとき：
$$\\beta_{0j} = 10 + 2 \\times 1 + u_{0j} = 12 + u_{0j}$$
$$\\beta_{1j} = 3 + u_{1j}$$
予測値を求める際は、ランダム効果の期待値$E[u_{0j}] = E[u_{1j}] = 0$を使用：
$$E[\\beta_{0j}] = 12$$
$$E[\\beta_{1j}] = 3$$
Step 4: 予測値の計算
レベル1モデルに代入：
$$E[y_{ij}] = E[\\beta_{0j}] + E[\\beta_{1j}] \\times x_{ij}$$
$$= 12 + 3 \\times 2 = 12 + 6 = 18$$
統合モデル（Combined Model）
レベル1とレベル2を統合すると：
$$y_{ij} = \\gamma_{00} + \\gamma_{01}W_j + \\gamma_{10}x_{ij} + u_{0j} + u_{1j}x_{ij} + r_{ij}$$
固定効果部分：$\\gamma_{00} + \\gamma_{01}W_j + \\gamma_{10}x_{ij}$
ランダム効果部分：$u_{0j} + u_{1j}x_{ij} + r_{ij}$
Step 5: 直接計算による確認
統合モデルを使用した計算：
$$E[y_{ij}] = \\gamma_{00} + \\gamma_{01}W_j + \\gamma_{10}x_{ij}$$
$$= 10 + 2 \\times 1 + 3 \\times 2 = 10 + 2 + 6 = 18$$
Step 6: 階層線形モデルの特徴
HLMの主要な特徴
- 階層構造の考慮：データの階層性を明示的にモデル化
- グループ間変動：$u_{0j}, u_{1j}$によりグループ固有の効果を表現
- 交互作用効果：レベル間の交互作用（クロスレベル交互作用）を分析可能
- 分散成分分解：各レベルでの分散成分を推定
1. 固定効果と変量効果の解釈
- $\\gamma_{00}$：全グループの平均切片
- $\\gamma_{01}$：グループレベル変数が切片に与える効果
- $\\gamma_{10}$：全グループの平均傾き
- $u_{0j}, u_{1j}$：グループ固有の偏差
2. 分散構造
$$\\text{Var}\\begin{pmatrix} u_{0j} \\\\ u_{1j} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\tau_{00} & \\tau_{01} \\\\ \\tau_{01} & \\tau_{11} \\end{pmatrix}$$