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<h4>ベクトル内積の計算</h4>
<p>2つのベクトル \( \mathbf{w} = [w_1, w_2, ..., w_n] \) と \( \mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n] \) の内積は、対応する要素同士の積の合計として定義されます。</p>
<div class="formula">
$ \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} = w_1 x_1 + w_2 x_2 + ... + w_n x_n = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i$
</div><p>与えられたベクトルは \( \mathbf{x} = [2, -1, 3] \) と \( \mathbf{w} = [0.5, 1, -0.2] \) です。</p><p>内積を計算します：</p>
<div class="formula">
$\mathbf{w} \cdot \mathbf{x} = (0.5 \times 2) + (1 \times (-1)) + ((-0.2) \times 3)
= 1 + (-1) + (-0.6)
= 1 - 1 - 0.6
= -0.6$
</div><p>したがって、ベクトルの内積は -0.6 です。</p><div class="key-point">
<div class="key-point-title">ニューラルネットワークにおける内積</div>
<p>ニューラルネットワークにおいて、ニューロンの入力に対する重み付き和は、まさにこの内積計算によって求められます。入力ベクトルと重みベクトルの内積にバイアス項を加えたものが、活性化関数への入力となります。</p>
<div class="formula">
$\text{活性化関数への入力} = (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}) + b = \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b$
</div>
<p>ここで \(b\) はバイアス項です。</p>
</div><h5>NumPyによる計算</h5>
<p>PythonのライブラリNumPyを使うと、ベクトル演算を簡単に行えます。</p>
<div class="code-block">
<pre>
import numpy as npx = np.array([2, -1, 3])
w = np.array([0.5, 1, -0.2])# 内積の計算
dot_product = np.dot(w, x)
# または
# dot_product = w @ xprint(f"Vector x: {x}")
print(f"Vector w: {w}")
print(f"Dot product (w . x): {dot_product}")
# 出力:
# Vector x: [2 -1 3]
# Vector w: [0.5 1. -0.2]
# Dot product (w . x): -0.6
</pre>
</div>