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<h4>行列式の性質と意味</h4>
<p>行列式 \(\det(\mathbf{A})\) または \(|\mathbf{A}|\) は、正方行列 \(\mathbf{A}\) に関連付けられるスカラー値で、線形代数において重要な役割を果たします。</p>
<ul>
<li><strong>幾何学的意味:</strong> 行列式の絶対値は、行列による線形変換によって空間の「体積」がどれだけ拡大または縮小されるかの倍率を表します。2次元の場合は面積の変化率、3次元の場合は体積の変化率です。行列式の符号は、変換によって空間の向きが反転するかどうかを示します（正なら維持、負なら反転）。そのため、行列式は負の値も取り得ます。(選択肢1は誤り)</li>
<li><strong>正則性との関係:</strong> 行列が<strong>正則 (Regular)</strong> である、すなわち<strong>逆行列が存在する</strong>ための必要十分条件は、その行列式が<strong>0でない</strong>ことです (\(\det(\mathbf{A})
eq 0\))。行列式が0の場合、その行列は逆行列を持たず、<strong>特異行列 (Singular Matrix)</strong> と呼ばれます。特異行列には、単位行列でないもの（例：ゼロ行列、同じ行/列を持つ行列など）も多く含まれます。(選択肢2は誤り、<strong>選択肢3は正しい</strong>)</li>
<li><strong>計算方法 (2x2):</strong> \(\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) の場合、\(\det(\mathbf{A}) = ad - bc\) で計算されます。これは対角成分の和（トレース: a+d）とは異なります。(選択肢4は誤り)</li>
<li><strong>固有値との関係:</strong> 行列式は、その行列の固有値すべての積に等しくなります。</li>
<li><strong>行列の積の行列式:</strong> \(\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})\) が成り立ちます。</li>
<li><strong>転置行列の行列式:</strong> \(\det(\mathbf{A}^T) = \det(\mathbf{A})\) が成り立ちます。</li>
</ul>
<p>したがって、行列式に関する正しい記述は選択肢3です。</p>
<div class=\"key-point\">
<div class=\"key-point-title\">行列式の重要性</div>
<ul>
<li>逆行列の存在判定（正則性チェック）に使われる。</li>
<li>連立一次方程式の解の存在や一意性を調べる（クラメルの公式など）のに役立つ。</li>
<li>固有値計算（特性方程式 \(\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0\)）の基礎となる。</li>
<li>線形変換による体積変化率を表す幾何学的な意味を持つ。</li>
</ul>
</div>