標準正規分布とZ値とは？
標準正規分布は、平均が0、標準偏差（および分散）が1になるように標準化された正規分布です。釣鐘型で左右対称な形をしており、多くの自然現象や社会現象の分布を近似できるため、統計学で非常に重要です。
Z値（Zスコア）は、データが標準正規分布の平均（0）から標準偏差（1）の何単位分離れているかを示す値です。Z値を使うことで、平均や標準偏差が異なる正規分布に従うデータを比較したり、確率を計算したりすることが容易になります。
累積確率 \(P(Z \le z)\) は、標準正規分布に従う確率変数 \(Z\) が特定の値 \(z\) 以下となる確率です。これは、標準正規分布のグラフの下の面積で、左端から \(z\) までの部分に対応します。
計算: \(P(Z \le z) = 0.975\) となるz値
累積確率が0.975となる \(z\) 値を求めるということは、標準正規分布のグラフで、左側から数えて全体の97.5%の面積を占める位置の \(z\) 値を見つけることです。
これは、標準正規分布表（Z表）を使って求めることができます。
$P(Z \le z) = 0.975 \implies z \approx 1.96$
標準正規分布は対称的なので、これは右側の裾の面積が \(1 - 0.975 = 0.025\) (2.5%) となる点でもあります。
重要ポイント：z=1.96 の意味
\(z \approx 1.96\) は、特に以下の統計的推測の文脈で頻繁に現れる重要な値です。
- 95%信頼区間: 母平均などを推定する際、95%の確率で真の値が含まれるとされる区間（信頼区間）を計算するときに使用されます。標準正規分布では、平均±1.96標準偏差の範囲 ([-1.96, 1.96]) に全体のデータの95%が含まれます（左右の裾にそれぞれ2.5%）。
- 両側仮説検定（有意水準5%）: 帰無仮説（例: 「差がない」）を検定する際に、有意水準を5% \(\alpha = 0.05\) と設定した場合の棄却域の境界値（臨界値）となります。計算された統計量（Z値など）の絶対値が1.96を超えると、「偶然では起こりにくい」と判断し、帰無仮説を棄却します。