ポアソン分布とは？
ポアソン分布は、ある一定の期間や空間において、「まれ」に発生するイベントの発生回数が従う離散確率分布です。例えば、以下のような事象の発生回数のモデル化によく使われます。
- 単位時間あたりにかかってくる電話の件数
- 一定面積あたりに存在する特定の種類の植物の数
- 一定量の製品に含まれる欠陥の数
- ウェブサイトへの単位時間あたりのアクセス数（今回の問題）
ポアソン分布が適用できるための主な仮定は以下の通りです。
- イベントの発生は互いに独立である。
- ごく短い時間（または空間）内にイベントが2回以上発生する確率は無視できるほど小さい。
- イベントの平均発生率は、観測期間（または空間）を通じて一定である（\(\lambda\)）。
確率質量関数 (PMF)
単位期間（または空間）あたりの平均発生回数が \(\lambda\) であるとき、実際に \(k\) 回イベントが発生する確率 P(X=k) は、以下の確率質量関数で与えられます。
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
- \(\lambda\): 単位期間あたりの平均発生回数（正の値）
- \(k\): イベントの発生回数（0以上の整数）
- \(e\): ネイピア数（自然対数の底、約 2.71828）
- \(k!\): \(k\) の階乗 (\(k \times (k-1) \times ... \times 1\)、ただし \(0! = 1\))
今回の計算
問題の条件:
- 単位時間（1時間）あたりの平均アクセス数: \(\lambda = 3\)
- 求めたいアクセス回数: \(k = 2\)
- 与えられた値: \(e^{-3} \approx 0.0498\)
まず、\(k\) の階乗を計算します: \(k! = 2! = 2 \times 1 = 2\)。
次に、PMFにこれらの値を代入します。
$P(X=2) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \frac{3^2 \times e^{-3}}{2!}
\approx \frac{9 \times 0.0498}{2}
= \frac{0.4482}{2}
= 0.2241$
結果の解釈
したがって、平均して1時間に3回のアクセスがあるウェブサイトにおいて、次の1時間にちょうど2回のアクセスがある確率は約 0.2241 (または 22.41%) です。
同様に、\(k=0, 1, 3, ...\) の場合の確率も計算でき、それらの確率を合計すると1になります。