ポアソン分布の期待値（平均発生回数）
期待値は、確率変数が平均してとる値を示します。ポアソン分布 \(Po(\lambda)\) に従う確率変数 \(X\) （特定の期間や空間におけるイベントの発生回数）の場合、その期待値 \(E[X]\) はパラメータ \(\lambda\) 自身と等しくなります。
$E[X] = \lambda$
パラメータ \(\lambda\) の意味
ポアソン分布のパラメータ \(\lambda\) は、そもそも「単位期間（または単位空間）あたりの平均発生回数」として定義されています。したがって、期待値が \(\lambda\) になるのは、定義から考えて自然な結果と言えます。
今回の計算
問題の条件:
- 単位期間: 10分間
- 平均発生回数（パラメータ）: \(\lambda = 8\) 台
ポアソン分布の期待値の公式により、
$E[X] = \lambda = 8$
したがって、この交差点を10分間に通過する車の台数の期待値は 8 台です。これは、長期間にわたって観測した場合、10分間あたり平均して8台の車が通過することを示唆しています。
補足：分散について
ポアソン分布のもう一つの興味深い性質は、分散も期待値と同じく \(\lambda\) になることです。
$Var(X) = \lambda$
今回のケースでは、分散も8となります。これは、10分間に通過する車の台数が期待値8の周りでどの程度ばらつくかを示しています。標準偏差は \(\sqrt{Var(X)} = \sqrt{8} \approx 2.83\) 台です。期待値と分散が等しいことは、ポアソン分布の特徴の一つです。