p値 (P-value) とは？
p値（有意確率）は、統計的仮説検定において非常に重要な概念です。これは、「帰無仮説（H₀: 例えば『差がない』『効果がない』）が正しいと仮定した場合に、観測されたデータ（またはそれ以上に極端なデータ）が得られる確率」を表します。
- p値が小さいほど、観測されたデータは帰無仮説の下では起こりにくい（珍しい）ことになります。
- p値が大きいほど、観測されたデータは帰無仮説の下でも十分に起こりうる（ありふれた）ことになります。
慣例的に、p値が事前に設定した有意水準（Significance Level, \(\alpha\)）（通常は 0.05 や 0.01）よりも小さい場合（\(p < \alpha\)）、帰無仮説を棄却し、対立仮説（H₁: 例えば『差がある』『効果がある』）を採択します。これは、「観測された結果は偶然では起こりにくいほど珍しいので、帰無仮説は恐らく間違っているだろう」と判断するためです。
両側検定 (Two-tailed Test) のp値
両側検定は、対立仮説が「差がある」（どちらの方向に差があるかは問わない）という形式の場合に行われます。例えば、「グループAとグループBの平均値は異なる」といった場合です。
この場合、観測されたテスト統計量（この問題ではZ統計量 \(Z_{obs}\)）と同じくらい、またはそれ以上に「極端な」（帰無仮説から離れた）値が、分布の両側で得られる確率を合計してp値を計算します。標準正規分布（Z分布）は平均0に対して対称なので、計算は比較的簡単です。
$p\text{-value} = P(Z \ge |Z_{obs}|) + P(Z \le -|Z_{obs}|)
= 2 \times P(Z \ge |Z_{obs}|) \quad (\text{分布の対称性より})$
これは、観測されたZ統計量の絶対値 \(|Z_{obs}|\) 以上の値が分布の右側の裾で得られる確率 \(P(Z \ge |Z_{obs}|)\) を計算し、それを2倍することと同じです。
今回の計算
問題の条件:
- 観測されたテスト統計量: \(Z_{obs} = 2.5\)
- 検定の種類: 両側検定
- 与えられた確率: \(P(Z > 2.5) = 0.0062\) （これは \(P(Z \ge 2.5)\) とほぼ等しい）
両側p値の計算式に値を代入します。
$p\text{-value} = 2 \times P(Z \ge |2.5|)
= 2 \times P(Z \ge 2.5)
\approx 2 \times 0.0062
= 0.0124$
結果の解釈
したがって、このZ値に対応する両側のp値は 0.0124 (または 1.24%) です。
もし有意水準を \(\alpha = 0.05\) (5%) と設定していた場合、\(p = 0.0124 < 0.05\) なので、帰無仮説は棄却されます。つまり、「観測されたZ=2.5という結果は、偶然（帰無仮説が正しい場合）では起こりにくい（確率1.24%）ため、統計的に有意な差がある」と結論付けられます。