信頼区間 (Confidence Interval) とは？
信頼区間は、標本データから母集団の真のパラメータ（母平均、母比率など）を推定する際に用いられる「区間推定」の結果です。これは、「もし同じ方法で何度も標本抽出と区間推定を繰り返した場合、計算された区間のうち特定の割合（信頼水準、例: 95%）が、真の母集団パラメータを含むであろう」という考えに基づいています。
単一の値で推定する「点推定」（例: 標本平均 \(\bar{x}\) で母平均 \(\mu\) を推定）とは異なり、信頼区間は推定の不確かさを区間の幅として表現します。
信頼区間の構成要素
信頼区間は通常、以下の形式で表されます。
$\text{信頼区間} = [\text{点推定値} - \text{誤差の範囲}, \text{点推定値} + \text{誤差の範囲}]$
または
$\text{信頼区間} = \text{点推定値} \pm \text{誤差の範囲}$
- 点推定値 (Point Estimate): 標本から計算されたパラメータの最良の推測値。信頼区間の中心となります。母平均の信頼区間の場合、通常は標本平均 \(\bar{x}\) です。
- 誤差の範囲 (Margin of Error, MOE): 点推定値の周りにどれだけの「余裕」を持たせるかを示す値。この範囲が推定の不確かさを表します。誤差の範囲は、以下の要素から決まります:
- 信頼水準 (Confidence Level): 区間が真のパラメータを含む確率（例: 95%）。信頼水準が高いほど、区間は広くなります（MOEが大きくなる）。
- データのばらつき: 標本データの標準偏差や標準誤差が大きいほど、区間は広くなります。
- 標本サイズ (n): 標本サイズが大きいほど、推定の精度が高まり、区間は狭くなります（MOEが小さくなる）。
具体的には、母平均の信頼区間の誤差の範囲は「（信頼水準に対応する）臨界値 × 標準誤差」で計算されます。
与えられた信頼区間からのMOE計算
信頼区間の上限値と下限値が分かっている場合、誤差の範囲 (MOE) は簡単に計算できます。
信頼区間 \([L, U]\) （L: 下限値, U: 上限値）が与えられたとき、
- 区間の中心（点推定値）は \(\frac{L + U}{2}\)
- 区間の全幅は \(U - L\)
誤差の範囲 (MOE) は、区間の全幅の半分です。
$\text{MOE} = \frac{text{区間の全幅}}{2} = \frac{U - L}{2}$
あるいは、中心値から上限値（または下限値）までの距離としても計算できます。
$\text{MOE} = U - \frac{L + U}{2} = \frac{2U - (L+U)}{2} = \frac{U - L}{2}$
今回の計算
与えられた95%信頼区間は \([15.2, 24.8]\) です。
- 下限値 (L) = 15.2
- 上限値 (U) = 24.8
区間の全幅を計算します。
$\text{区間の全幅} = 24.8 - 15.2 = 9.6$
誤差の範囲 (MOE) はその半分です。
$\text{MOE} = \frac{9.6}{2} = 4.8$
(参考：この信頼区間の中心（母平均の点推定値）は \(\frac{15.2 + 24.8}{2} = 20.0\) です。信頼区間は \(20.0 \pm 4.8\) と表現できます。)
したがって、この信頼区間の誤差の範囲は 4.8 です。