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<h4>信頼区間 (Confidence Interval) とは？</h4>
<p>信頼区間は、標本データから母集団の真のパラメータ（母平均、母比率など）を推定する際に用いられる「区間推定」の結果です。これは、「<strong>もし同じ方法で何度も標本抽出と区間推定を繰り返した場合、計算された区間のうち特定の割合（信頼水準、例: 95%）が、真の母集団パラメータを含むであろう</strong>」という考えに基づいています。</p>
<p>単一の値で推定する「点推定」（例: 標本平均 \(\bar{x}\) で母平均 \(\mu\) を推定）とは異なり、信頼区間は推定の<strong>不確かさ</strong>を区間の幅として表現します。</p><h5>信頼区間の構成要素</h5>
<p>信頼区間は通常、以下の形式で表されます。</p>
<div class="formula">
$\text{信頼区間} = [\text{点推定値} - \text{誤差の範囲}, \text{点推定値} + \text{誤差の範囲}]$
</div><p>または</p>
<div class="formula">
$\text{信頼区間} = \text{点推定値} \pm \text{誤差の範囲}$
</div><ul>
<li><strong>点推定値 (Point Estimate):</strong> 標本から計算されたパラメータの最良の推測値。信頼区間の中心となります。母平均の信頼区間の場合、通常は標本平均 \(\bar{x}\) です。</li>
<li><strong>誤差の範囲 (Margin of Error, MOE):</strong> 点推定値の周りにどれだけの「余裕」を持たせるかを示す値。この範囲が推定の不確かさを表します。誤差の範囲は、以下の要素から決まります:
<ul>
<li><strong>信頼水準 (Confidence Level):</strong> 区間が真のパラメータを含む確率（例: 95%）。信頼水準が高いほど、区間は広くなります（MOEが大きくなる）。</li>
<li><strong>データのばらつき:</strong> 標本データの標準偏差や標準誤差が大きいほど、区間は広くなります。</li>
<li><strong>標本サイズ (n):</strong> 標本サイズが大きいほど、推定の精度が高まり、区間は狭くなります（MOEが小さくなる）。</li>
</ul>
</li>
</ul>
<p>具体的には、母平均の信頼区間の誤差の範囲は「（信頼水準に対応する）臨界値 × 標準誤差」で計算されます。</p><h5>与えられた信頼区間からのMOE計算</h5>
<p>信頼区間の上限値と下限値が分かっている場合、誤差の範囲 (MOE) は簡単に計算できます。</p>
<p>信頼区間 \([L, U]\) （L: 下限値, U: 上限値）が与えられたとき、</p>
<ul>
<li>区間の中心（点推定値）は \(\frac{L + U}{2}\)</li>
<li>区間の全幅は \(U - L\)</li>
</ul>
<p>誤差の範囲 (MOE) は、区間の全幅の半分です。</p>
<div class="formula">
$\text{MOE} = \frac{text{区間の全幅}}{2} = \frac{U - L}{2}$
</div>
<p>あるいは、中心値から上限値（または下限値）までの距離としても計算できます。</p>
<div class="formula">
$\text{MOE} = U - \frac{L + U}{2} = \frac{2U - (L+U)}{2} = \frac{U - L}{2}$
</div><h5>今回の計算</h5>
<p>与えられた95%信頼区間は \([15.2, 24.8]\) です。</p>
<ul>
<li>下限値 (L) = 15.2</li>
<li>上限値 (U) = 24.8</li>
</ul>
<p>区間の全幅を計算します。</p>
<div class="formula">
$\text{区間の全幅} = 24.8 - 15.2 = 9.6$
</div>
<p>誤差の範囲 (MOE) はその半分です。</p>
<div class="formula">
$\text{MOE} = \frac{9.6}{2} = 4.8$
</div>
<p>(参考：この信頼区間の中心（母平均の点推定値）は \(\frac{15.2 + 24.8}{2} = 20.0\) です。信頼区間は \(20.0 \pm 4.8\) と表現できます。)</p>
<p>したがって、この信頼区間の誤差の範囲は <strong>4.8</strong> です。</p>