複素解析・多変数微積

この問題では複素数の極形式への変換を学習します。極形式は信号処理におけるフーリエ変換や、量子力学における波動関数の記述など、回転や周期性を伴う現象を扱う上で不可欠な表現方法です。

極形式の定義

複素数 $z = x + iy$ は、絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を用いて以下のように表せます：

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

ここで $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, $\tan\theta = \frac{y}{x}$ です。

1. 絶対値 $r$ の計算

$z = -1 + \sqrt{3}i$ より、$x = -1, y = \sqrt{3}$ です。

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

2. 偏角 $\theta$ の計算

複素平面上で点 $(-1, \sqrt{3})$ の位置を考えます：

• $x < 0, y > 0$ なので、第2象限にあります。
• 直角三角形の比率が $1 : \sqrt{3} : 2$ なので、基準となる角度は $60^\circ (\frac{\pi}{3})$ です。
• 実軸の正の方向から測ると、$\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$、つまり $\frac{2\pi}{3}$ ラジアンとなります。

3. 結論

したがって、求める組は $(r, \theta) = (2, \frac{2\pi}{3})$ です。