複素数の極形式・ド・モアブル・偏微分・勾配・接平面・極座標積分まで高校〜大学初年次向けの10問でリフレッシュできます。
$z = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ)$ の4乗 $z^4$ を極形式で表すとき、正しい表現を選べ。
この問題ではド・モアブルの定理を利用した複素数のべき乗計算を学習します。回転の繰り返し操作を単純な掛け算で表現できるため、制御工学や電気回路（交流理論）でのフェーザ計算に多用されます。
整数 $n$ に対して、以下の等式が成り立ちます：
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
絶対値 $r$ を含めると：$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$
1. 各要素の計算
2. 式の組み立て
$z^4 = 16(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$
3. 選択肢の確認
この式に合致するのは3番目の選択肢です。
ド・モアブルの定理は、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を使うと指数法則 $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ としてより自然に理解できます。現代のデータサイエンスでは、この指数形式での記述が標準的です。