この問題ではド・モアブルの定理を利用した複素数のべき乗計算を学習します。回転の繰り返し操作を単純な掛け算で表現できるため、制御工学や電気回路（交流理論）でのフェーザ計算に多用されます。
ド・モアブルの定理
整数 $n$ に対して、以下の等式が成り立ちます：
$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$
絶対値 $r$ を含めると：$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$
1. 各要素の計算
- 絶対値：$r = 2$ なので $r^4 = 2^4 = 16$
- 偏角：$\theta = 30^\circ$ なので $4\theta = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$
2. 式の組み立て
$z^4 = 16(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ)$
3. 選択肢の確認
この式に合致するのは3番目の選択肢です。
オイラーの公式との関係
ド・モアブルの定理は、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を使うと指数法則 $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ としてより自然に理解できます。現代のデータサイエンスでは、この指数形式での記述が標準的です。