この問題では偏微分の具体的な計算方法を学習します。偏微分は多変数関数において「ある一つの変数を動かしたときの変化率」を表し、機械学習におけるパラメータ更新の基礎となる操作です。
偏微分の計算ルール
$x$ で偏微分する場合、$y$ は定数（数字と同じ扱い）とみなして微分します。
1. 偏導関数 $f_x$ の計算
$f(x,y) = x^2y + 3y^2$ を $x$ で微分します：
- $x^2y$ の項：$y$ は係数扱いなので $(x^2)' \cdot y = 2x \cdot y = 2xy$
- $3y^2$ の項：$x$ を含まない定数項扱いなので微分すると $0$
したがって、$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ です。
2. 値の代入
点 $(2, -1)$ を代入します：
$\frac{\partial f}{\partial x}(2, -1) = 2 \times 2 \times (-1) = -4$
偏微分の意味
求めた値 $-4$ は、点 $(2, -1)$ において $y$ を固定したまま $x$ をわずかに増やしたとき、関数値 $f$ が急激に減少する（傾きが負の急勾配である）ことを意味しています。