この問題では接平面の方程式を用いた関数の局所的近似（線形化）を学習します。これは非線形なデータを扱う際に、局所的には単純な平面として捉えて解析する手法の基礎です。
接平面の公式
曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $(a, b, f(a,b))$ における接平面は：
$z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$
1. 関数値と偏微分の計算
点 $(a,b) = (1,2)$ において：
- $f(1,2) = 1^2 + 1 \times 2 = 3$
- $f_x = 2x + y \to f_x(1,2) = 2(1) + 2 = 4$
- $f_y = x \to f_y(1,2) = 1$
2. 公式への代入
$z = 3 + 4(x-1) + 1(y-2)$
これが求める接平面の方程式です。
3. 選択肢の確認
選択肢の中に $z = 3 + 4(x-1) + (y-2)$ がそのままあります。
（これを展開すると $z = 3 + 4x - 4 + y - 2 = 4x + y - 3$ となり、選択肢1と同じになりますが、この問題では式の形として選択肢2が意図されています）
線形近似の重要性
接平面は、複雑な曲面を一点の周りで真っ直ぐな平面として近似するものです。これはテイラー展開の1次近似に相当し、物理シミュレーションや統計モデリングで「扱いやすいモデル」を作るための第一歩となります。