この問題では極座標変換を用いた二重積分を学習します。円対称な領域や関数を扱う場合、直交座標よりも計算が圧倒的に楽になる手法で、ガウス分布の積分計算などで必須となります。
極座標変換
$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ と置換します。
- 被積分関数：$x^2 + y^2 = r^2$
- 積分領域 $D$：$0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$
- 面積要素 $dA$：$dxdy = r\,drd\theta$ （$r$ を忘れない！）
1. 積分の書き換え
$\iint_{D} (x^2 + y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2) \cdot r\,drd\theta$
$= \int_0^{2\pi} d\theta \cdot \int_0^1 r^3\,dr$
2. $r$ の積分
$\int_0^1 r^3\,dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$
3. $\theta$ の積分と仕上げ
$\int_0^{2\pi} d\theta = [\theta]_0^{2\pi} = 2\pi$
全体：$2\pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$
ヤコビアンの役割
極座標変換で登場する $r$ は「ヤコビアン（拡大率）」と呼ばれます。中心から離れるほど円周が広がるため、同じ $d\theta$ でもカバーする面積が増えることを補正しています。機械学習の変数変換でも、確率密度の変化分としてヤコビアンが登場します。