商の微分法則

商の微分法則レベル1

関数 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$ の導関数はどれか。

解説

商の微分法則（Quotient Rule）を適用する問題です。分数形の関数は統計学や確率論で頻繁に現れ、その微分は重要な技法です。

$\frac{u(x)}{v(x)}$ の微分は：

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

1. 関数の分解

$u(x) = x^2 + 1$ なので $u'(x) = 2x$
$v(x) = x - 2$ なので $v'(x) = 1$

2. 商の微分法則を適用

\begin{align}f'(x) &= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \\&= \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} \\&= \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} \\&= \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}\end{align}

商の微分法則の覚え方

語呂合わせ：「分子の微分×分母 − 分子×分母の微分」を「分母の2乗」で割る

符号に注意：真ん中は必ずマイナス（−）

計算ミス防止：分子の展開は慎重に、項の符号を確認