指数関数と対数関数の微分および積の微分法則を組み合わせた問題です。指数関数と対数関数は機械学習で重要な活性化関数や損失関数として使用されます。
指数・対数関数の微分公式
- $(e^x)' = e^x$
- $(e^{ax})' = ae^{ax}$ （連鎖律）
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
1. 積の微分法則の準備
$f(x) = e^{2x} \ln(x)$ において：
- $u(x) = e^{2x}$ なので $u'(x) = 2e^{2x}$ （連鎖律）
- $v(x) = \ln(x)$ なので $v'(x) = \frac{1}{x}$
2. 積の微分法則を適用
$\begin{align}f'(x) &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\&= 2e^{2x} \cdot \ln(x) + e^{2x} \cdot \frac{1}{x} \\&= e^{2x}\left(2\ln(x) + \frac{1}{x}\right)\end{align}$
3. $f'(1)$ の計算
$x = 1$ を代入します：
$\begin{align}f'(1) &= e^{2 \cdot 1}\left(2\ln(1) + \frac{1}{1}\right) \\&= e^2(2 \cdot 0 + 1) \\&= e^2 \cdot 1 \\&= e^2\end{align}$
指数・対数関数微分のコツ
基本公式：$(e^x)' = e^x$、$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
合成関数型：$(e^{f(x)})' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
重要な値：$\ln 1 = 0$、$e^0 = 1$ などを覚えておく