基本的な不定積分 - 積分問題1/10 - 青の統計学-DS Playground-

基本的な不定積分レベル1

不定積分 $\int (3x^2 - 4x + 5) dx$ はどれか。

解説

この問題では多項式の不定積分の基本を学習します。積分は微分の逆演算として、データサイエンスでは確率密度関数から累積分布関数を求める際や、期待値計算において重要な役割を果たします。

多項式の積分公式

一般に、$x^n$ の不定積分は以下の公式で求められます：

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n ≠ -1$）

また、積分の線形性により：

$\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$
$\int c dx = cx + C$ （$c$ は定数）

1. 各項を個別に積分

$\int (3x^2 - 4x + 5) dx$ の各項を積分します：

$\begin{align}\int 3x^2 dx &= 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \\\int (-4x) dx &= -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \\\int 5 dx &= 5x\end{align}$

2. 結果をまとめる

各項の積分結果を足し合わせ、積分定数を加えます：

$\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$

多項式積分の計算コツ

べき乗公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を機械的に適用

定数倍の処理：係数はそのまま外に出す

積分定数：不定積分では必ず $+ C$ を付ける