数列・整数法則

等差・等比・線形漸化式・合同式など高校〜大学初年次の整数テクニックで、物流やKPI管理に直結する10問を収録。

線形漸化式でアクセス数を予測レベル2

アクセス数が $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 4a_n$ に従い、$a_1 = 3$, $a_2 = 7$ なら $a_5$ を求めよ。

解説

解答と解説を表示

この問題では隣接三項間漸化式の計算と、時系列データの予測を学習します。前の状態から次の状態が決まるモデルは、動的システムや時系列解析の基礎です。

一般項を求めることもできますが、項数が少ない場合は順次計算するのが確実で早いです。

$a_{n+2} = 4(a_{n+1} - a_n)$

1. $a_3$ の計算 ($n=1$)

$a_3 = 4a_2 - 4a_1 = 4(7) - 4(3) = 28 - 12 = 16$

2. $a_4$ の計算 ($n=2$)

$a_4 = 4a_3 - 4a_2 = 4(16) - 4(7) = 64 - 28 = 36$

3. $a_5$ の計算 ($n=3$)

$a_5 = 4a_4 - 4a_3 = 4(36) - 4(16) = 144 - 64 = 80$

したがって、$a_5 = 80$ です。

参考：一般項による解法

特性方程式 $x^2 - 4x + 4 = 0$ より $(x-2)^2 = 0$。

重解 $x=2$ を持つため、一般項は $a_n = (An + B) \cdot 2^n$ の形になります。

条件から $A, B$ を定めると $a_n = (n/2 + 1) \cdot 2^n$ となり、これに $n=5$ を代入しても解けます。

漸化式と動的計画法

漸化式はコンピュータサイエンスにおいて重要です：

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