この問題では一次不定方程式の整数解を求める手法を学習します。制約条件下での最適なリソース配分（箱詰め、人員配置など）を数学的に解くための基礎です。
不定方程式の定式化
24個入り箱を $x$ 箱、15個入り箱を $y$ 箱使うとします ($x, y$ は非負整数)。
$24x + 15y = 198$
1. 式の簡略化
係数の最大公約数で両辺を割れないか確認します。$24, 15, 198$ はすべて3の倍数です。
$8x + 5y = 66$
2. $x$ の条件を絞る
$y = \frac{66 - 8x}{5}$ です。$y$ が非負整数になるような $x$ を探します。
3. $x$ の探索
$x$ は非負であり、$8x \le 66$ より $x \le 8$ です。
- $x=2 \to 5y=50 \to y=10$ (○) 解1: (2, 10), 箱合計 = 12
- $x=7 \to 5y=10 \to y=2$ (○) 解2: (7, 2), 箱合計 = 9
4. 解の選択
「箱の総数を最小にする」という条件ですので、合計12箱と9箱を比較し、少ない方の解 $(x, y) = (7, 2)$ を採用します。
したがって、24個入り箱は **7箱** 必要です。
整数計画法
このような問題は整数計画問題 (Integer Programming) の一種です。物流における積み付け問題や、シフト作成など、制約を満たす整数解の中でコストを最小化する問題に応用されます。